湖北省八市2023-2024学年高三下学期3月联考数学参考答案

2024年湖北省八市高三（3月）联考数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．C2．B3．D4．D5．A6．A7．C8．B第1题提示：AC{1,2,3,4}C.第2题提示：aa(2b)(2,3)(0,1)3.第3题提示：将1+i代入方程得：a(1i)22ab(1i)0，得20ab，即20ab.第4题提示：易得平面MNP∥平面AB1D1，A1-AB1D1为正三棱锥，得A1C⊥平面AB1D1，故A1C⊥平面MNP，若其他选项也符合，则平行于A1C，不成立.第5题提示：770716125261670761(71)1CC7777(1)C77(1)C77(1)C77(1)107161252616CC7777(1)C77(1)C77(1)2.第6题提示：偶函数的导数为奇函数，可以根据对等式fx()f(x)两边求导，或通过图象验证.1第7题提示：设ABC，由cosC0可得2cosBAcos2sinAtanA.22第8题提示：易知点O关于直线l的对称点为A(1,1)，求直线AP的方程:yA(1,1)△APB≌OPBCN∠POB与∠AMB互余P1故k=,APk1OMBxl:y1=(x1)APkN'11易得MkN(1,0),(1,0)（或只求N(1,0)）kk数学参考答案第1页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}132211312113由||MN得(1k)(1)，即有()2()kk，6k36kk3611323解得k，得k或k，k6323若k，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件.2其他方法:先求点P坐标，再求直线AP的方程；或者设点M和N的坐标，通过A，M，N三点共线构造方程求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．ACD10．ABD11．AB说明：多选题有错选得0分，第9、10题选对1个答案给2分，选对2个答案给4分，选对3个答案给6分；第11题选对1个答案给3分，选对两个答案给6分.第9题提示：女生不感兴趣的人数约为280，男生不感兴趣的人数约为300，故B不对，3.8413.946.635，故C，D正确.第10题提示：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，ac2,2，其中一个焦点坐标应为(2,2).2第11题提示：由3(afx())+2bfxc()+=0得fx()=x1或fx()=x2，依题意可得以下6种情况：当a>0时x1x1x1x2x2x1x2x1x1x2x2m=1,n=3m=2,n=3m=3,n=3当a<0时x2x2x2x1x1x2x2x1x2x1x1m=1,n=3m=2,n=4m=3,n=5mn+的取值集合为{4,5,6,8}.数学参考答案第2页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。112．13．(1,0)(0,1)14．22第12题提示：用两角和的正切公式展开，或用整体法两角差的正切公式．第题提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用24．13SS62=(1++qq)第14题提示：|mn+−2n|=|(n−1)2+m−1|，先设n为变量，可通过分类讨论求出≥2mm+−3,1max{|mn+−2n|}=max{|(n−1)+m−1|}=，nn∈∈[0,9][0,9]−mm+1,<−1再求出当m∈−[3,3]时的最小值，即为2．或者由|mn+−2n|=|(n−1)2+m−1|在n∈[0,9]时的最大值只可能在当n=0或n=1或n=9处取得，结合图象可得原式的最小值为2．tt=|m+3|t=|m|2t=|m-1|-31O1m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得：2223ABAC，即2sinB……2分sinCBsin232解得sinB，又0B，故B或B．……5分2332（2）由BC>AC，可得AB>，故B，AC……6分332fxxx()sin(2)sin(2)sin(2xx)sin(2)2sin(2x)……8分33333令22kx≤≤2k，kZ2325解得kx≤≤k，kZ……10分1212数学参考答案第3页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}7由于x[,]，取k1，得≤x≤；12511取k0，得≤x≤；取k1，得≤x≤，1212127511故fx()在[,]上的单调递增区间为[,]，[,]，[,]．……13分12121212说明：第（1）问中两种情况少一种扣1分，第（2）问中三个区间少一个扣1分.16．解：（1）5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，…3分15所求概率为：Cp22(1p)3C2()5．……6分55216（2）X所有可能的取值为2，0，2，4，且……7分033PX(P2)PC3(1p)P(1p)，……8分122PXCpppp(PP0)3(1)P3(1)，……9分222PXCpppp(PP2)3(1)P3(1)，……10分333PX(4)Cp3p，……11分1由EX()2(1p)3223p(1p)4p30，解得p，……14分31又因为01p，故p的取值范围为p1．……15分317．解：（1）连接BD交AC与点O，连接OM，易知平面PBD与平面MAC的交线为OM，∵PB∥平面MAC，∴PB∥OM，…2分又∵O为BD的中点，∴M为PD的中点.…3分取PA的中点E，连接EM，EN，∥1∥1∵EM=AD，CN=AD，22∥∴EM=CN，∴EMCN为平行四边形，∴CM∥EN，……5分又∵CM⊄平面PAN，EN⊂平面PAN，∴CM∥平面PAN.……6分（2）取AB的中点S，连结PS，CS，∵PA=PB=5，∴PS⊥AB，且PS=PB22−=BS2，又∵SC=BC22+=BS5，且PC=3，∴PC222=PS+SC，∴PS⊥SC，……8分又∵AB，SC是平面ABCD内两条相交的直线，∴PS⊥平面ABCD.……9分数学参考答案第4页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}以S为坐标原点，SB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系S−xyz，易知A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(−1,2,0)，P(0,0,2)，1由M为PD的中点，N为BC的中点，可得M(−,1,1)，N(1,1,0)，……10分213AP=(1,0,2)，PN=(1,1,−2)，AM=(,1,1)，MC=(,1,−1)，……11分22设是平面的法向量，则m=(,xyz111,)PANm⋅=AP0xz11+=20即，可取m=(2,−−4,1)；……12分+−=m⋅=PN0xy1120z1设是平面的法向量，则n=(,xyz222,)MAC3xyz+−=0n⋅=AM02222即，可取n=(2,−2,1)；……13分⋅=1nMC0xyz++=02222设平面PAN与平面MAC的夹角为θ，|mn⋅|111121则cosθ===，|mn|||321631121即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为.……15分63说明：第（1）问取AD的中点，通过面面平行来证明线面平行也可以根据步骤给分.18．解：（1）依题意可得a2−=11，得a2=2，……1分61+−ba2213由ee=，得ee22=⋅=，解得b2=2，……3分1221212a2y2x2故C的方程为x2−=1，C的方程为+=y21．……4分1222（2）易知F1(1,0)，F2(1,0)，设Px(,00y)，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，2y0y0y0则k1，k2，kk，……5分122x01x01x01222y2y0Px(,00y)在Cx:1−=，即有x−=1，1202y20可得kk1222为定值．……7分x01数学参考答案第5页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}x2设直线PF的方程为：y=kx(+1)，联立+=y21可得1122222(2k1+1)x+4kx11+2(k−=1)0，∆>0恒成立，4k2设，，则有1，Ax(,11y)Bx(,22y)xx12221k12kk2可求得11，……分M(,)2282121kk11设直线PF2的方程为：y=kx2(−1)，Cx(,33y)，Dx(,44y)，2kk2同理可得22，……分N(,)2292121kk22kk122k2212k1kk(221)kk(221)121221则k22222222kk122kk12(21)2kk21(21)222kk12121(2kk1)(kk)(2kk1)(kk)12121212……分22222221282()82[()2]kk12k1k2kk12k1k2kk125(kk)由可得：12，kk122k2242(kk12)点在第一象限内，故，Pkk2105553k≥……14分2424242(kk12)22(kk)kk1212kk12当且仅当24，即时取等号，2(kk12)kk1223kk12而，故等号可以取到……分k1k22kk1222.15即当取最小值时，，联立，kkk1223kk122可解得，，……分k131k23116故的方程为：，的方程为：，PF1yx=−+(31)(1)PF2yx=+−(31)(1)x3联立可解得，即有P(3,2)．……17分y2说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，数学参考答案第6页（共8页）{#{QQABLYCAggAgAAAAAAhCEwVoCAOQkACCAAoOAEAMIAIAiBNABCA=}#}另外可以分别设直线方程和求解，x=ty1−1x=ty2+12t2t此时：1，2，1M(,)22N(,)22tt12tt1122tt22222()(2)5()tttttt121212k2222(t1t2)84(tt12)12也可以直接通过的横纵坐标代换来求解，Px(,00y)2y2yx12y2yx1此时：M(,)000，N(,)00022222222xyxy00001212xyxy0000121212xx(21)4yx215yx224yxxy0000000000k2222222y0242xy002242243yxy000xy00都可以根据相应步骤给分.19．解：xxx357（1）由该公式可得sinxx=−+−+，……2分3!5!7!111故sin=−+≈0.48……4分2248x2（2）结论：cosx≥1−，……5分2证明如下：x2令gx()=cosx−