2024年高考诊断性测试数学注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合,集合,则图中阴影部分表示的集合为()A.B.C.D.2.若,则()A.100B.110C.120D.1303.若点在抛物线上,为抛物线的焦点,则()A.1B.2C.3D.44.若,则()A.B.C.D.5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为()A.3B.6C.10D.156.设为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若,则B.若与所成的角相等,则C.若,则D.若,则7.已知定义在上的奇函数满足,当时,,则()A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中,点,向量,且.若为椭圆上一点,则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知为复数,下列结论正确的有()A.B.C.若,则D.若,则或10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记向上的点数分别为,设事件“为整数”,“为偶数”,“为奇数”,则()A.B.C.事件与事件相互独立D.11.给定数列,定义差分运算:.若数列满足,数列的首项为1,且,则()A.存在,使得恒成立B.存在,使得恒成立C.对任意,总存在,使得D.对任意,总存在,使得三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若圆关于直线对称的圆恰好过点,则实数的值为__________.13.在三棱锥中,,且分别是的中点,,则三棱锥外接球的表面积为__________,该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.(本小题第一空2分,第二空3分.)14.若函数在上佮有5个零点,且在上单调递增,则正实数的取值范围为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值:(2)若恒成立,求的取值范围.16.(15分)如图,在三棱柱中,,为的中点,平面.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.17.(15分)联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日,以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答、抢答两个环节依次进行.必答环节,共2道题,答对分别记30分、40分,否则记0分:抢答环节,包括多道题,设定比赛中每道题必须进行抢答,抢到并答对者得15分,抢到后未答对,对方得15分:两个环节总分先达到或超过100分者获胜,比赛结束.已知甲、乙两人参加决赛,且在必答环节,甲答对两道题的概率分别,乙答对两道题的概率分别为,在抢答环节,任意一题甲、乙两人抢到的概率都为,甲答对任意一题的概率为,乙答对任意一题的概率为,假定甲、乙两人在各环节、各道题中答题相互独立(1)在必答环节中,求甲、乙两人得分之和大于100分的概率:(2)在抢答环节中,求任意一题甲获得15分的概率:(3)若在必答环节甲得分为70分,乙得分为40分,设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束,求随机变量X的分布列及数学期望.18.(17分)已知双曲线经过点,离心率为,直线过点且与双曲线交于两点(异于点).(1)求证:直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值:(2)过点分别作直线的垂线.垂足分别为,记的面积分别为,求的最大值.19.(17分)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动,点为圆上一个定点,其初始位置为原点为绕点转过的角度(单位:弧度,).(1)用表示点的横坐标和纵坐标:(2)设点的轨迹在点处的切线存在,且倾斜角为,求证:为定值:(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为,则该光滑曲线长度为,其中函数满足.当点自点滚动到点时,其轨迹为一条光滑曲线,求的长度.
山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题
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