陕西省商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试(第二次)数学(理科)试卷

2024-03-15 · U1 上传 · 15页 · 1.2 M

商洛市2024高三尖子生学情诊断考试第二次数学试卷理科)考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:高考范围.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.2.法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理:设两个复数,,则.设,则的虚部为()A.B.C.1D.03.已知等比数列的前项和,则()A.3B.9C.-9D.-34.设向量的夹角的余弦值为,则()A.-1B.1C.-5D.55.执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.70B.112C.168D.2406.已知,则()A.B.C.D.7.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为是上的一点,点是轴上的一点,且,则的面积为()A.B.C.D.8.已知函数的定义域均为,若均为偶函数,则()A.B.C.D.9.小张每天早上在任一时刻随机出门上班,他订购的报纸每天在任一时刻随机送到,则小张在出门时能拿到报纸的概率为()A.B.C.D.10.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列,其中从第3项起,每一项都等于它前面两项之和,即,这样的数列称为“斐波那契数列”.若,则()A.175B.176C.177D.17811.某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点,在圆柱内放置一个球,则当球的体积最大时,平面与球的交线长为()A.B.C.D.12.已知,则()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,设函数,则的单调递减区间是__________.14.的展开式中含的项的系数为__________.15.已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于两点,则__________.16.如图1,已知是边长为的等边三角形,分别在线段上滑动,且,将沿折起,使得点翻折到点的位置,连接,如图2所示,则四棱锥的体积的最大值为__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知某校高一有600名学生(其中男生320名,女生280名).为了给学生提供更为丰富的校园文化生活,学校增设了两门全新的校本课程,学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况,得到如下的列联表.选择课程选择课程总计男生200女生60总计(1)请将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为选择课程与性别有关?说明你的理由;(2)在所有男生中按列联表中的选课情况采用分层抽样的方法抽出8名男生,再从这8名男生中抽取3人做问卷调查,设这3人中选择课程的人数为,求的分布列及数学期望.附:.0.010.0050.0016.6357.87910.82818.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为.(1)求角的大小;(2)若的面积为,周长为,求边上的高.19.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥中,底面为矩形,与交于点,点在线段上,且平面,二面角,二面角均为直二面角.(1)求证:;(2)若,且平面与平面夹角的余弦值为,求的长度.20.(本小题满分12分)设分别是椭圆的左、右焦点,,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)作直线与椭圆交于不同的两点,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.21.(本小题满分12分)已知函数,其中,曲线在点处的切线与曲线相切于点.(1)若,求;(2)证明:.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;(2)在平面直角坐标系中,过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,证明:.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试(第二次)•数学试卷(理科)参考答案、提示及评分细则1.A因为,所以.故选A.2.B,所以,所以的虚部为.故选B.3.D当时,;当时,.,又是等比数列,所以,解得.故选D.4.B设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,又,所以,所以.故选B.5.C第一次执行,由,则,又由,则进入循环;第一次循环,由,则,又由,则进入循环;第二次循环,由,则,又由,则进入循环;第三次循环,由,则,又由,则进入循环;第四次循环,由,则,又由,则进入循环;第五次循环,由,则,又由,则进入循环;第六次循环,由112,则,又由,不成立,退出循环,则输出.故选C.6.C由,可得,即,所以.故选C.7.D由题意知,设,所以,又,所以,所以,所以,解得,所以的面积.故选D.8.C因为为偶函数,所以,即,所以,令得,故C正确,A无法判断是否正确;因为为偶函数,,所以,令得,故D无法判断是否正确;因为无法判断的取值情况,故B错误.故选C.9.A设小张离开家的时间距离为分钟,送报的时间距离为分钟,则小张能拿到报纸,则.画出区域,为如图中的矩形中对应区域如图所示,设矩形的面积为,则小张在出门时能拿到报纸的概率为.故选A.10.B由从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,,由,得,所以,将这个式子左、右两边分别相加可得,所以.所以,所以.故选B.11.D由题意知,当球的体积最大时,球与圆柱的上下底面及母线均相切,因为正方形的面积为12,所以,如图1,记所在底面的圆心为所在底面的圆心为,平面与球的交线为圆形,如图即为截面圆的直径,易知,易知RtRt,故,所以,所以交线长为.故选D.12.D由题意得,又,所以.令,则,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,所以,所以,又,所以,设,当时,,所以在上单调递减,又,且,所以,所以.故选D.13.(开区间,半开半闭区间也正确)依题意,令,解得,所以的单调递减区间是.14.的展开式的通项为,故令,2,可得的展开式中含的项的系数为.15.圆的圆心,半径,由双曲线的离心率为,得,解得,于是双曲线的渐近线方程为,即.当渐近线为时,点到此直线的距离,即直线与已知圆相离,不符合要求;当渐近线为时,点到此直线的距离,则直线与已知圆相交,弦长.16.2依题意当平面平面时,四棱锥的体积才会取得最大值.设,设为的中点,在等边中,点分别为上一点,且,所以,又为的中点,所以,又平面平面,平面平面平面,所以平面,因为,所以.所以四棱锥的体积,所以,解得,当时,单调递增,当时,单调递减,所以当,四棱锥的体积最大,所以.17.解:(1)由男生320名,女生280名,结合表中数据,列联表如图所示,选择课程选择课程总计男生120200320女生60220280总计180420600,所以有的把握认为选择课程与性别有关.(2)抽出8名男生中,选择课程的人数为:(名),选择课程的人数为:5(名),的所有可能取值为,,,则的分布列为0123所以.18.解:(1)由已知结合正弦定理边化角可得.又,代入整理可得.因为,所以.又,所以.(2)由及可得,.又周长为,则,所以.根据余弦定理可得,,整理可得.设边上的高为,则,解得,所以边上的高为.19.(1)证明:因为平面平面,平面平面,所以.又因为四边形为矩形,所以,则.(2)解:因为四边形为矩形,所以.又因为平面平面,平面平面平面,所以平面.因为平面,所以.同理,.设,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设为平面的法向量,因为所以令,则,所以;设为平面的法向量,因为所以令,则,所以,所以,解得.故.20.解:(1)设椭圆的半焦距为.因为,所以,解得,因为椭圆的离心率为,所以,即,解得,则,故椭圆的方程为.(2)由,根据题意可知直线的斜率存在,可设直线的斜率为,则直线的方程为.把代入椭圆的方程,消去整理得.设,则,则,所以线段的中点坐标为.①当时,,线段的垂直平分线为轴,于是.由,解得;②当时,线段的垂直平分线的方程为.由点是线段的垂直平分线上一点,令,得.因为,所以,解得,所以.综上所述,实数的值为.21.(1)解:,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为,因为,所以,即,设,则,即单调递增,又,所以,又,所以,因为,所以曲线在处的切线方程为,所以,解得.(2)证明:因为,所以曲线在处的切线方程为,同理可知曲线在处的切线方程为,所以,设,则,所以,所以,即单调递减,且,当时,,所以,由(1)可知,此时;当时,,则,即,又,所以,所以,此时;当时,,所以.设,则,若,则,所以单调递减,所以时,1,与矛盾,故不符题意,所以应有,此时.综上所述,.当时,,当时,且,设,此时,所以单调递减,所以,所以,即.综上所述,.22.(1)解:由得到,即,所以曲线的普通方程为.又因为,则,整理得,即曲线的极坐标方程为,(2)证明:由题意可得直线的参数方程为(为参数),代入,整理得,所以.则,所以.23.解:(1)当时,,即;当时,,解得,即;当时,,解得,此时无解.综上,不等式的解集为.(2)因为不等式恒成立,所以,即恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以,即实数的取值范围为.

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