2024届江西省赣州市高三一模数学试题

赣州市2024年高三年级摸底考试数学试卷2024年3月本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.∣2∣1.已知集合Axx4x0,Bxylog22x，则ðRAB（）A.0,2B.,2C.0,4D.,43ai2.已知i为虚数单位.2bia,bR，则abi（）1iA.1B.2C.2D.43.在ABC中，AB7,AC2,C120，则sinA（）72157321A.B.C.D.141414144.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AD的中点，过B1且平行于平面A1BE的平面截正方体所得截面面积为（）65A.B.C.6D.26245.在平行四边形ABCD中，AB3,AD4,ABAD6,DC3DM，则MAMB（）A.16B.14C.12D.108ii6.若一组样本数据x1,,,x2x8的方差为2,(1)xi2,yixi(1)(i1,2,,8)，则样本数据i1y1,,,y2y8的方差为（）A.1B.2C.2.5D.2.75e37.已知a,b,cln3，则（）e1eA.abcB.bacC.bcaD.cba8.在边长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点（含四条学科网（北京）股份有限公司边），且tanAPD4tanEPB，则P的轨迹长度为（）π2π4π8πA.B.C.D.9999二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知等比数列an的前n项和为Sn,a318,S326，则（）A.an0B.Sn0C.数列an为单调数列D.数列Sn为单调数列1110.已知函数fxsinxsin2xsin3x，则（）23A.2π是fx的一个周期B.fx的图象关于原点对称C.fx的图象过点π,0D.fx为R上的单调函数311.曲线C是平面内与两个定点FF0,1,0,1的距离的积等于的点P的轨迹，则（）122A.曲线C关于坐标轴对称B.F1PF2周长的最小值为2622C.P到y轴距离的最大值为D.P到原点距离的最小值为22第Ⅱ卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.π7π12.求值：sinsin__________.1212721113.xy展开式中的常数项为__________.xy214.已知P是抛物线E:xy上异于顶点的点，E在P处的切线l分别交x轴､y轴于点ST,，过P作l的垂S2线分别交x轴y轴于点，分别记与的面积为SS,，则2的最小值为､MN,PMSPNT12__________.S1四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCBCD90,PA平面ABCD,PAABBC4,CD3,M为侧棱PC的中点.学科网（北京）股份有限公司（1）求点D到平面PBC的距离：（2）求二面角MADB的正切值.16.（15分）某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业2技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙352公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0m1，技能测试是否通过相互独立.632（1）若m.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；3（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.17.（15分）x2y223己知椭圆C:1(ab0)过点1,，椭圆C的右焦点与点Q2,2所在直线的斜率为2.22ab3（1）求椭圆C的方程；（2）若过Q的直线l与椭圆C交于AB,两点.点P3,0.直线PA,PB分别交椭圆C于点MN,，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.18.（17分）已知函数fxex1lnx.（1）求fx的单调区间，（2）已如m0.若函数gxfxmx1有唯一的零点x0.证明，1x02.19.（17分）n设数列A:a1,a2,,aNN…2.如果对小于n2„„nN的每个正整数k都有akaa.则称是数列A的一个“D时刻”.记DA是数列A的所有“D时刻”组成的集合，DA的元素个数记为cardDA,.（1）对数列A:1,1,2,2,3,3，写出DA的所有元素；学科网（北京）股份有限公司（2）数列A:,,,a1a2a6满足a1,a2,,a61,2,3,4,5,6，若cardDA,4.求数列A的种数.（3）证明：若数列A满足anan1…1n2,3,4,,N，则cardD,A…a1aN.学科网（北京）股份有限公司赣州市2024年高三年级摸底考试数学（理科）参考答案一､单选题（共40分）题号12345678答案ABBAACDD二､多选题（共18分）题号91011答案BCABCABD三､填空题（共15分）612.13.63014.12四､解答题（共77分）115.解：（1）由PA平面ABCD，可得VSPA三棱锥PBCD3BCD1令点D到平面PBC的距离为d，则VSd三棱锥DPBC3PBC11由VV三棱锥三棱锥，可得SdSPADPBCPBCD3PBC3BCDSPA则dBCDSPBC1由ABC90,BC4,CD3，可得：SBCCD6BCD21由PA平面ABCD,ABC90，可得BCPB，则SPBBC82PBC2643232则d，即点D到平面PBC的距离为8222（2）设O为AC的中点，过O作OHAD交AD于H，连结OM,HMM是PC的中点，OM∥PA,OM平面ABCDOMAD,AD平面MOH,ADMH，MHO为二面角MADB的一个平面角1111又SADOHSCDBC3，AOD22ADC22学科网（北京）股份有限公司6且AD17，可得OH17OM17则tanMHOOH317即二面角MADB的正切值为3说明：也可以利用向量法!16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A5211224由题设12PACC22633639（2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为,”2由题设知：B3,32所以E323的所有可能取值为0,1,2,3111mP01m，631851121176mP11m1mm，63636318525112103mP21mmm，636363185210m5mP3m63189故的分布列为01231m76m103m5mP18181891m76m103m5m2m3从而E0123181818922m3EE,2,由得20m1,0m1,1解得m12学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为c，且椭圆C的右焦点为c,0141,a23b2222由题意得：abc,2022c解得c1,a23,b22x2y2所以C的方程为：132（2）设l的方程为xmy22，设Axy1,,,,,,,1Bxy22Mxy33Nxy44，则直线PA的方程为x3x1y3y1x3x1y3,y12222由可得2x133y1y12x13y1y12y10x2y21,3222x1y122结合1，可得2x1yx13y1yy10322y1y1可得y1y3，解得y32x12x1x12x13y11代入xy2，解得x332y1y12x1x12y21同理可得y4,x422x2x22yy21yy2x2x故k4321MNxx1143x22x12y2xy2x2112x1x2学科网（北京）股份有限公司y2my2m2y2my2m22112my1y22my1y22，故直线MN的斜率是定值，且定值为2my1y2118.解：（1）fxex1lnx,fxex1x1fxex10x21当x0时，fxex1为增函数x又f10当x0,1时，fx0,fx单调递减；当x1,时，fx0,fx单调递增.fx的减区间为0,1，增区间为1,x1（2）gxfxmx1elnxmxmm(0)1gxex1m(x0,m0)x由（1）可知gx在0,单调递增，且g1m0，1又g1memmemm101m存在唯一的t1,1m1,使得gt0当x0,t时gt0,gx单调递减；当xt,时gt0,gx单调递增；t1g(x)mingtelntmtmx1若方程gxelnxmxm0有唯一的实数x0，则x0t1t11gtem0,tt1gtelntmtm01消去m可得2tet1lnt10(t1)t1令ht2tet1lnt1(t1)，t学科网（北京）股份有限公司111t1t1则ht1te21te20tttht在t1,上为减函数1且h110,h2ln202当ht0时t1,2，即1x0219.解：（1）由题设知当n3时，a1a3,a2a3，故n3是数列A的一个“D时刻”同理当n5时，都有aia5i1,2,3,4，即n5也是数列A的一个“D时刻”综上，DA3,5（2）由cardDA,4，易知a15或a16①当a15时，4,3,2,1必须从左往右排列，6可以是aii2,3,4,5,6中任一个，共有5种情况②当a16时，若DA中的四个元素是由集合A中的元素4,3,2,1或5,3,2,1或5,4,2,1或5,4,3,1引起的1.若由4,3,2,1引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；2.若由5,3,2,1引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种3.若由5,4,2,1引起，即5,4,2,1从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；4.若由5,4,3,1引起，即5,4,3,1从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种综上，符合c