江西省赣州市2024届高三下学期年3月摸底考试数学试题

赣州市2024年高三年级摸底考试数学试卷2024年3月本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知为虚数单位.，则（）A.1B.C.2D.43.在中，，则（）A.B.C.D.4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（）A.B.C.D.5.在平行四边形中，，则（）A.16B.14C.12D.106.若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（）A.1B.2C.2.5D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为，则（）A.B.C.数列为单调数列D.数列为单调数列10.已知函数，则（）A.是的一个周期B.的图象关于原点对称C.的图象过点D.为上的单调函数11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，则（）A.曲线关于坐标轴对称B.周长的最小值为C.到轴距离的最大值为D.到原点距离的最小值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：__________.13.展开式中的常数项为__________.14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴､轴于点，过作的垂线分别交轴､轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.（1）求点到平面的距离：（2）求二面角的正切值.16.（15分）某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.17.（15分）己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.18.（17分）已知函数.（1）求的单调区间，（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.19.（17分）设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.（1）对数列，写出的所有元素；（2）数列满足，若.求数列的种数.（3）证明：若数列满足，则.赣州市2024年高三年级摸底考试数学（理科）参考答案一､单选题（共40分）题号12345678答案ABBAACDD二､多选题（共18分）题号91011答案BCABCABD三､填空题（共15分）12.13.63014.1四､解答题（共77分）15.解：（1）由平面，可得令点到平面的距离为，则由，可得则由，可得：由平面，可得，则则，即点到平面的距离为（2）设为的中点，过作交于，连结是的中点，平面平面，为二面角的一个平面角又，且，可得则即二面角的正切值为说明：也可以利用向量法!16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件由题设（2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为”由题设知：所以的所有可能取值为，，，故的分布列为0123从而由得解得17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，且椭圆的右焦点为由题意得：解得所以的方程为：（2）设的方程为，设，则直线的方程为由可得结合，可得可得，解得代入，解得同理可得故，故直线的斜率是定值，且定值为218.解：（1）当时，为增函数又当时，单调递减；当时，单调递增.的减区间为，增区间为（2）由（1）可知在单调递增，且，又存在唯一的使得当时单调递减；当时单调递增；若方程有唯一的实数，则消去可得令，则在上为减函数且当时，即19.解：（1）由题设知当时，，故是数列的一个“时刻”同理当时，都有，即也是数列的一个“时刻”综上，（2）由，易知或①当时，必须从左往右排列，6可以是中任一个，共有5种情况②当时，若中的四个元素是由集合中的元素或或或引起的1.若由引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；2.若由引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种3.若由引起，即从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；4.若由引起，即从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种综上，符合的数列有15种另解：因为数列，由题意可知中的四个元素为中的四个共有5种情况：①当时，数列共有1种情况；②当时，数列共有2种情况；③当时，数列共有3种情况；④当时，数列共有4种情况；⑤当时，数列，共有5种情况；综上，符合的数列有15种（3）①若，由，所以，即成立②若，不妨设且从而由累加法知：又，即综上：.证毕