2024届广西壮族自治区高三3月联合模拟考试数学试题答案

2024年高考联合模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABADBCAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BDBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．．5．．1213±21417四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．．解：（）设等差数列{an}的公差为d，则由题得151ìï(ad)ad1+(1+2)=24,…………………………………………………………分ïíîad251+10=-20,ìa解得í1=-8,………………………………………………………………………分îd4=2,故{an}的通项公式为annn．…………………………分=-8+(-1)×2=2-106nn（）由（）知Sn(-1)n2n，……………………………………分21n=-8+×2=-972Snn2n(n)(n)所以，即为-9，整理得-1-10……………………分an<1n<1(n)<0102-102-5n，故即解(n)(n)，……………………………………………分∵≥1-5-10<011解得n，……………………………………………………………………分5<<1012所以满足条件的n的取值集合为{，，，}．…………………………………分678913．解：（）证明：由SABDSACD知SABCSACD，…………………………………………分161Δ=2ΔΔ=3Δ1所以1ABACBAC1ADACDAC，………………………………分⋅sin∠=3×⋅sin∠322因为BACDACπ，所以BACDAC，∠+∠=sin∠=sin∠所以ABAD；……………………………………………………………………分=36（）由（）知ABAD，设ADm，则ABm，21=3==3由SABDSACD知BDCD，又因为DCAC，Δ=2Δ=2=设CDn，则BDn，ACn，……………………………………………………分==2=7数学参考答案第1页（共页）4{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}n2m2m2n2m2在ABD中，ADB(2)+-(3)-2，………………………分Δcos∠=nm=mn92×2mm在等腰ACD中，ADC，…………………………………………分Δcos∠=n2=n112n2m2m所以-2，整理得n2m2，…………………………………………分mn=-n2=3132m所以ADC6…………………………………………………………分cos∠=n=1426故BACCADCDA6．………………………………分cos∠=-cos∠=-cos∠=-156．解：（）证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE，171底面ABCD为菱形，且DAB，∵∠=60°BCD为等边三角形，故DEBC，∴Δ⊥PBPC，PEBC，…………………分∵=∴⊥2又PEDEE，PE，DE平面PDE，⋂=⊂BC平面PDE，…………………………………………………………分∴⊥4又PD平面PDE⊂BCPD，又BCADPDAD；……………………………………分∴⊥∵∥∴⊥6（）过P作PFDE于点F，由（）得PF平面PDE，PFBC，又DEBCE，DE，2⊥1⊂∴⊥=BC平面BCD，PF平面BCD，由PBPC，AD,得DE∩,PE，⊂∴⊥==3=2=3=2PDPE又PD，PEPDPF⋅6，DFPD2PF23=1∴⊥∴=DE==-=33DADE，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴，建立如图空间直角坐标系∵⊥Dxyz，故AP36C-(2,0,0),(0,,),(-1,3,0)33DP36，DC，…………………………分∴=(0,,)DA=(2,0,0),=(-1,3,0)933设平面APD的一个法向量为mxyz，=(,,)ìxìmDAï2=0则í⋅=0，即í，令z，îmDPï3y6z=1⋅=0î+=033则m，…………………分=(0,-2,1)11设平面CPD的一个法向量为nabc=(,,)ìabìnDCï-+3=0则í⋅=0，即í，înDPï3b6c⋅=0î+=033令则n……………分=(-6,-2,1)13mn则mn⋅33，………………………………………分cos<,>=|m||n|==14⋅3×33数学参考答案第2页（共页）4{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}所以二面角APDC的正弦值为6．………………………………………分--153ìa2b2ï+=6．解：（）由题意可得íb，解得a2，b2，181ï2=4=2îa=2x2y2所以C的方程为；………………………………………………………分-=1542（）设直线PQ的方程为xmy2，Px，y，Qx，y，2=+(11)(22)3代入C的方程整理可得：m2y2my，…………………………分9(2-)-12+32=06m2，且(m)2(m2)，故m216且m2．-2≠0△=-12-4×92-×32>0>≠29myy4，yy32，…………………………………………分1212+=(m2)⋅=(m2)832-92-因为P，Q在C的右支上yym2综上,16m2…………………分∴12>0,∴<2,<<299C的左顶点为A，故直线AP与AQ的方程分别为：(-2,0)yyy1x，y2x，=x(+2)=x(+2)1+22+2yy可得M2,81，N2,82．………………………………………分(⋅x)(⋅x)11331+2332+2要证O，A，M，N四点共圆只需证AMNAONπ∠+∠=,即证AMNBON,即证与互余∠=∠∠MAB∠BON故只需证kk，……………………………………………………………分AP⋅ON=113yyyyyy121212因为kAPkON444，⋅=x⋅x==212+2+2my8my8m2yy8m(yy)8(1+)(2+)12+1+2+()3333324(m2)92-4×32=m2=m2m2(m2)=1m2328m4(8)32+32+642-(m2)+(m2)+92-332-3所以，O，A，M，N四点共圆．………………………………………………………分17．解：（）因为fxexmx，所以f′xexm，……………………………………分191()=+-1()=+1当m时，f′xexm，函数fx在R上单调递增；………………………分⩾0()=+>0()2当m时，由f′xexm，得xm，<0()=+>0>ln(-)函数fx在区间m，∞上单调递增，()(ln(-)+)由f′xexm，得xm，函数fx在区间∞，m上单调递减．()=+<0ln-(+1)sin+-1>ln-(+1)sin∈(0,+)即证exmxxxxx，x∞，+(+1)(+sin)--1-ln>0∈(0,+)设kxxx，k′xx，……………………………………………分()=+sin()=1+cos⩾06故kx在∞上单调递增，又k，所以kx，()(0,+)(0)=0()>0又因为m，所以mxxxx，+1>1(+1)(+sin)>+sin所以exmxxxxxexxxx，……………分+(+1)(+sin)--1-ln>+sin-1-ln8当x时，因为exx，xx，所以exxxx；…分①0<⩽1+sin-1>0ln⩽0+sin-1-ln>09当x时，exxxxexxx………………………………分②>1+sin-1-ln≥-ln-211令gxexxx，则g′xexx，()=-ln-2()=-ln-1设hxg′x，则h′xex1，………………………………………………分()=()()=-x13因为x时，h′x单调递增，所以h′xh′e，>1()()>(1)=-1>0所以hx即g′x在∞上单调递增，()()(1,+)所以g′xg′e所以gx在∞上单调递增，()>(1)=-1>0()(1,+)所以gxge()>(1)=-2>0exxxxexxx∴+sin-1-ln≥-ln-2>0综上可知，当m时，exmxxxmxexxxx，>0+-1-ln+(+1)sin>+sin-1-ln>0即fxxxmx．…………………………………………………分()>ln-(+1)sin17数学参考答案第4页（共页）4{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}