四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试理科数学

2024年2月绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试题数学(理科)命题人：王秀容审题人：张丛林一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=0,1,2,4,6,8，集合M=0,4,6,N=0,1,6，则M∪∁UN=(    )A．0,1,4,6,8B．0,2,4,6,8C．1,2,4,6,8D．U2．设a∈R，若复数a-2i2+i在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=(    )A．-4B．1C．-1D．43．执行如图所示的程序框图，输出的S=(    )137A．25B．22C．18D．54．已知向量a,b,c，满足a+b+c=0，a=3,c=4，且a⊥c，则a-b+c=(    )A．5B．52C．102D．105．设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S7=9S4-8，则S5=(    )6515A．31B．C．15D．886．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( )57320A．B．C．D．6842122π7．设甲：sinα+sinβ=1，乙：α+β=，则(    )2A．甲是乙的必要条件但不是充分条件B．甲是乙的充分条件但不是必要条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件22xy228．已知双曲线C：-=1a>0,b>0，C的一条渐近线与圆x-1+y-2=2a2b2第1页共4页交于A,B两点，若AB=2，则双曲线的离心率为(    )554A．B．5C．D．3439．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为(    )A．14B．36C．26D．5010．已知函数fx=sinπx,x∈0,2的图象与直线y=ax-1有3个交点，则实数a的取值范围为(    )A．-∞,-πB．-1,0C．-π,0D．-∞,011．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2,E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为(    )102515A．B．C．5D．5555x2y212．已知椭圆C：+=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于a2b2A，B两点，若AF1=3AF2，点M满足F1M=3MF2，且AM⊥F1B，则椭圆C的离心率为(    )163A．B．C．2D．3333第II卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.213．已知函数fx=a-1x+asinx为偶函数，则实数a=.x+y≥014．若x，y满足约束条件x-2y≥0，则z=x+3y的最小值为.x-y≤215．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AB=3，第2页共4页AC=2，则BD的最大值为；16．已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分17．(本小题满分12分)*已知数列an的前n项和为Sn，2Sn=3an-2，其中n∈N．(1)求数列an的通项公式；1*(2)设bn=n-an，数列bn的前n项和Tn，若对任意n∈N且n≥2，2Tn-1≥(n-21)λ恒成立，求实数λ的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=120°，AA1=A1B=2，∠A1AC=60°．(1)证明：平面ABC⊥平面A1ACC1；1(2)若BP=BA，求二面角C-AP-B的正弦值．31119．(本小题满分12分)为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进1行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛4.2(1)完成下面2×2列联表，试根据小概率值PK≥k0=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？第3页共4页男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望.n(ad-bc)2附：K2=，其中n=a+b+c+d.a+bc+da+cb+d2PK≥k00.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82820．(本小题满分12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点Q到焦点的距离为8，点Q到x轴的距离为7p.(1)求抛物线的方程；(2)取抛物线上一点Pa,1，过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线与抛物线交于A,B两点，且k1⋅k2=2，则直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数fx=alnx-1+a+2x+1,a≠0.(1)讨论fx的单调性；(2)设Fx=fx+2sinx-1-4x，求证：当a=1时，Fx恰有两个零点.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)x=-1+4cosβ22．已知圆C的参数方程为(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为y=1+4sinβ极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；x=tcosα(2)若直线l的参数方程是(t为参数，α为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，y=tsinα|AB|=214，求l的斜率.[选修4-5：不等式选讲](10分)23．已知函数f(x)=|x-3|+2|x+5|的最小值为m．(1)求m的值；11m(2)若a>0，b>0且ab=1，求++的最小值．2a2ba+b第4页共4页