百师联盟2023-2024学年高三下学期开学摸底联考（新高考卷)数学试题

2024届高三开年摸底联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．命题“”的否定为（）A． B． C． D．4．若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（）A． B． C．1 D．25．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）A． B． C． D．6．已知实数满足，设，则（）A． B． C． D．7．在中，为边上一点，，且的面积为，则（）A． B． C． D．8．已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．若随机变量，则B．若经验回归方程中的，则变量与正相关C．若随机变量，且，则D．若事件与为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥10．已知函数，则以下结论正确的是（）A．为的一个周期 B．在上有2个零点C．在处取得极小值 D．对11．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（）A．为奇函数 B．C． D．为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______．13．已知，若，则的最大值为_______．14．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，则_______；向量与的夹角为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若直线与曲线相切，求的值．（15分）如图，在三棱台中，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；（2）假设每张彩票售价为元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值．18．（17分）已知椭圆的右焦点为为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（点不重合）．（1）设直线的斜率分别为，证明：；（2）点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标．19．（17分）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．（1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；（2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；（3）若正项数列为“数列”，且，证明：．2024届高三开年摸底联考数学参考答案及评分意见1．B【解析】，所以．故选B．2．C【解析】，因为，所以复数在复平面内对应的点在第三象限．故选C．3．D【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“”的否定为“”．故选D．4．A【解析】设双曲线的焦距为，由题，，得，故，所以，不妨取渐近线，则左焦点到渐近线的距离为．故选A．5．D【解析】由题可得圆台的母线长为，所以高，所以该圆台的体积，故选D．6．D【解析】因为，所以，又为减函数，所以，即，又，故，所以，故选D．7．A【解析】，解得，所以为等腰三角形，，故中，由正弦定理得，即，得．因为，所以为锐角，故，故．故选A．8．B【解析】由题，，所以①，②，两式作差得，化简得，即，所以，故选B．9．BC【解析】，A错误；若经验回归方程中斜率，则变量与正相关，B正确；易得正态曲线关于直线对称，故，又，所以，C正确；掷一枚骰子，设事件出现的点数为1，事件出现的点数为2，则与互斥，但与不互斥，D错误．故选BC．10．BC【解析】，A错误；令，得或，当时，解得或，故在上有2个零点，B正确；，令，得或，且当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，C正确；可知的极大值为，这个极大值即为函数的最大值，的极小值为，这个极小值即为函数的最小值，故，D错误．故选BC．11．ACD【解析】因为为奇函数，所以，所以，故为奇函数，A正确；又，故，所以，故，所以是以4为周期的周期函数，所以，且不能确定一定成立，故B错误；因为，所以，所以，C正确；因为，所以，故，又，所以，所以为偶函数，D正确，故选ACD．12．【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件，则，又，所以．13．【解析】，其中，所以的最大值为1，设，当时，取得最大值，所以的最大值为．14．1；【解析】由题得，设，由得，求导得，所以直线的斜率，则直线的方程为，易得，所以，解得．当时，，则，故向量与的夹角为，当时，同理可得夹角为．（第一空2分，第二空3分）15．解：（1）的定义域为，当时，单调递减；当时，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增．（2）由题，，设切点为，则，易知，故．又，即，将代入，得．设，则．当时单调递增；当时单调递减．所以，所以．16．（1）证明：取中点，连接．因为，所以．因为，且是公共边，所以，所以，所以．因为平面，所以平面．又因为平面，所以．又，所以（2）解：如图，过点作的垂线，垂足为，过点作垂直于，垂足为，连接．不难得出，，则平面．又平面，则．由，可得．过点作的平行线，交于点，由（1）得三条直线两两垂直，分别以为，轴建立空间直角坐标系，则，．设平面的一个法向量为，则即令，得，所以．又直线的一个方向向量，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．解：（1）获得三等奖的概率；获得二等奖的概率；获得一等奖的概率．所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率．（2）一张彩票的奖金的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：051050所以的期望．若盈利，需，因为，故的最小值为8．18．（1）证明：设，则，则．又，两式作差得：，即，所以，得证．（2）解：由题，不与长轴两端点重合，设，直线，与椭圆方程联立，并消去得．设，则，所以，．又，代入上式化简得，所以．故，所以点的坐标为．19．（1）解：数列不是“数列”．理由如下：因为，所以．又，所以，因为不是常数，所以数列不是“数列”．（2）解：因为数列为“数列”，由，得，所以，两式作差得：．又数列为“数列”，故．设数列的公比为，所以，即对成立，则得．又，得，所以，所以数列的通项公式为．（3）证明：设函数，则，当时，，则在上单调递减，且．因为数列为“数列”，则．因为，则，故，以此类推，可得对，所以，即，所以．得证．