福建省福州市2023-2024学年高三下学期2月份质量检测数学试卷

2024-03-04 · U1 上传 · 16页 · 1.1 M

2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题(完卷时间120分钟;满分150分)友情提示:请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则()A. B. C. D.2.已知点在抛物线上,则的焦点到其准线的距离为()A. B.1 C.2 D.43.已知是两个不共线的向量,若与是共线向量,则()A. B. C. D.4.在中,,则的面积为()A.2 B. C.4 D.5.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知正方形的四个顶点都在椭圆上,粗圆的两个焦点分别在边和上,则该粗圆的离心率为()A. B. C. D.7.甲、乙、丙三个地区分别有的人患了流感,且构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为,现从这三个地区中任意选取一人,在此人患了流感的条件下,此人来自甲地区的概率最大,则的可能取值为()A.1.21 B.1.34 C.1.49 D.1.518.已知函数及其导函数的定义域均为,记.若的图象关于点对称,且,则下列结论一定成立的是()A. B.C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知等差数列的前项和为,则()A.的最小值为1 B.的最小值为1C.为递增数列 D.为递减数列10.在长方体中,为的中点,则()A. B.平面C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为11.通信工程中常用元数组表示信息,其中或.设表示和中相对应的元素(对应,)不同的个数,则下列结论正确的是()A.若,则存在5个5元数组,使得B.若,则存在12个5元数组,使得C.若元数组,则D.若元数组,则三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.在复平面内,复数对应的点的坐标是,则______.13.底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截,截去一个高为的圆锥,所得的圆台的侧面积为______.14.在平面直角坐标系中,整点(横坐标与纵坐标均为整数)在第一象限,直线,与分别切于两点,与轴分别交于两点,则使得周长为的所有点的坐标是______.四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数是的零点.(1)求的值;(2)求函数的值域.16.(15分)如图,四棱锥的底面为正方形,平面平面在上,且.(1)证明:平面;(2)若为的中点,且,求平面与平面夹角的余弦值.17.(15分)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种,树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联,采用简单随机抽样的方法抽取90名学生,得到如下数据:外向型内向型男性4515女性2010(1)以上述统计结果的频率估计概率,从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者.设这三人中性格外向型的人数为,求的数学期望.(2)对表格中的数据,依据的独立性检验,可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性,得到的结论是否一致?请说明理由.附:参考公式:.0.10.050.012.7063.8416.63518.(17分)已知双曲线,动直线与轴交于点,且与交于两点,是的等比中项,.(1)若两点位于轴的同侧,求取最小值时的周长;(2)若,且两点位于轴的异侧,证明:为等腰三角形.19.(17分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)求证:;(3)若且,求证:.2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题参考答案(完卷时间120分钟;满分150分)友情提示:请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【答案】A【解析】集合包含所有小于1的实数,包含和1两个元素,所以.2.【答案】B【解析】将点代入,可得,故的焦点到其准线的距离为1.3.【答案】D【解析】依题意,设,又是两个不共线的向量,所以,所以.4.【答案】B【解析】由余弦定理得,,所以,所以.5.【答案】D【解析】函数在上单调递增,而函数在区间上单调递减,所以在区间单调递减,所以,解得.故选D.6.【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为,当时,,所以,因为四边形为正方形,所以,即,所以,所以,解得,因为,所以.7.【答案】D【解析】设事件分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”,事件分别为“此人患了流感,且分别来自甲、乙、丙地区”,事件为“此人患了流感”.由题可知,,所以,因为此人患了流感来自甲地区的概率最大,所以解得,故选D.8.【答案】C【解析】因为的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,即函数为奇函数,则,又,所以,所以,所以,所以,所以,即,所以3是的一个周期;因为,故C正确;取符合题意的函数,则,所以,又,故2不是的一个周期,所以,排除B;因为不是函数的最值,所以函数的图象不关于直线对称,所以,排除A;因为,所以排除D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.【答案】ABC【解析】假设的公差为,由,所以,又,所以,所以.选项A:,故时的最小值为1,A正确;选项B:,令,所以,可知在区间单调递增,所以时取得最小值1,B正确;选项C:,故为递增数列,C正确;选项D:,因为,所以不是递减数列,D错误.10.【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系,易知,,,,,.选项A,,,所以A错误;选项B,显然,可得平面,所以B正确;选项C,记直线的单位方向向量为,则,又,所以向量在直线上的投影向量为,则有到直线的距离为,故C正确;选项D,设平面的法向量为,由,可求得,又,所以点到平面的距离,故D错误.11.【答案】ACD【解析】选项A:满足条件的数组共有个,故A正确;选项B:满足条件的数组共有个,故B错误;选项C:设中对应项同时为0的共有个,同时为1的共有个,从而对应项一项为1与另一项为0的共有个,这里,从而,而,故C正确,同理D正确.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.【答案】【解析】依题意可知,所以.13.【答案】【解析】由已知可得圆台的上底面半径,下底面半径,母线长,则该圆台的侧面积为.14.【答案】或【解析】因为直线分别与相切于两点,且直线分别与轴交于两点,所以,所以的周长为,所以,设,所以,因为为整点,所以点的坐标为或.备注:只写出一个点坐标不得分.四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解析】(1)由已知可得,解得,即,又,可得.(2)由,可得,其中,则当时取得最小值时取得最大值2,故函数的值域为.16.【解法一】(1)因为,所以平面,又平面,所以,又,所以,又平面平面,平面平面平面,所以平面(2)由(1)得平面,又平面,所以,因为,所以,因为平面平面,所以,又,所以,所以,由(1)知两两垂直,如图,以点为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.所以,显然平面的一个法向量,设平面的法向量为,则即取,则,所以,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.【解法二】(1)因为,所以平面,又平面,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以,又平面平面,所以平面.(2)由(1)知两两垂直,如图,以点为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.设,则,所以,由,得,解得,或(舍去),所以,所以,显然平面的一个法向量,设平面的法向量为,则即取,则,则,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.17.【解法一】(1)由统计结果可知,外向型男生在所有男生中占比为,外向型女生在所有女生中占比为,故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是,从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是.则的所有可能取值为0,1,2,3.则,,所以.(2)零假设为:这两种性格特征与人的性别无关联.由所获得的所有数据都扩大为原来10倍,可知依据的独立性检验,可以推断这两种性格特征与人的性别有关联,与原来的结论不一致,原因是每个数据扩大为原来的10倍,相当于样本量变大为原来的10倍,导致推断结论发生了变化.【解法二】(1)由统计结果可知,外向型男生在所有男生中占比为,外向型女生在所有女生中占比为,故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是,从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是.从该校男生中随机抽取2人,抽到性格外向型的人数记为;从该校女生中随机抽取1人,抽到性格外向型的人数记为,则,所以,所以.(2)略,同解法一.18.【解法一】(1)因为动直线与轴交于点,因为的右焦点为,所以点为的右焦点.设,因为两点位于轴的同侧,所以,因为是的等比中项,所以,所以,当且仅当时取等号,所以,当时,所以,所以轴,由解得,所以,所以,由双曲线的定义得,所以,即的周长为36(2)设,由得,因为直线与交于两点,所以且,由,可得,故,又两点位于轴的异侧,所以,所以,即,所以,解得,所以,所以,所以,不妨设点在第二象限,根据双曲线定义,得,即解得,所以是等腰三角形.【解法二】(1)设由得,因为直线与交于两点,所以且,由两点位于轴的同侧,可得,解得,又是的等比中项,故可得,故,即,又,故,可得,即且,所以,当即时,所以轴,由解得,所以,所以,又,所以,所以,即的周长为36.(2)因为两点位于轴的异侧,故,所以,且由(1)知,解得或,当时,设的中点的坐标为,,所以点的坐标为,又的垂直平分线的斜率为,所以的垂直平分线方程为,即,又点在直线上,所以,即为等腰三角形.当时,同理可证,为等腰三角形.综上所述,为等腰三角形.19.【解法一】(1)的定义域为,,记,当时,单调递增;当时,单调递减所以,即,所以在区间上单调递减.(2)先证,记,则,记,则,所以时,递增;时,递减.所以,所以,又,所以,故.再证,即证,记,则,记,则,所以在递增,所以,所以,即,所以.(3)由(2)知的最大值为0.因为且,则之中至少有一个大于1,不妨设,则,由(1)可知为减函数,所以,所以,因为,记,则,因为,所以,所以,所以.【解法二】(1)略,同解法一(2)构造函数,当时,单调递增,,所以,构造函数,当时,单调递增;当时,单调递减.所以,即,即成立.所以,所以,9分则只需证明,即,而显然成立,所以.(3)先证,记,则,记,则,所以时,递增;时,递减.所以,所以,又,所以,故.所以,因为且,所以,所以,所以,则.

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