广东省深圳外国语学校2023-2024年高三第二次模拟测试数学答案详解

2024-02-29 · U1 上传 · 22页 · 1.7 M

绝密★启用前深圳外国语学校2023-2024高三第二次模拟测试数学(新课标I卷)答案详解 试卷类型:A本试卷共6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数在复平面内对应的点关于实轴对称,且,则(    )A.2 B.0 C. D.【答案】A【分析】由题意可得,根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于实轴对称,且,所以,所以.故选:A.2.已知集合,,则A. B.C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A、B,再按交集的定义运算即可.【详解】由,得,所以,由,得,所以,所以.故选:B【点睛】本题主要考查集合的交集运算,涉及到求函数的定义域,解一元二次不等式,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.3.已知,,均为单位向量,且满足,则(    )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可.【详解】,,则,即,则故选:C4.函数在区间上的图象大致为(    )A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和指数函数的性质,排除选项得出正确答案.【详解】是偶函数,排除选项B和D当时,,,即,排除选项C故选:A5.已知和分别是数列和的前项和,且满足,,若对,使得成立,则实数的取值范围是(    )A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【分析】利用和与项的一般关系求得数列的递推关系,根据等比数列的定义判定为等比数列,得到通项公式,进而得到,利用等差数列的求和公式得到,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值,根据不等式恒成立的意义得到关于的不等式,求解即得.【详解】由得,∴,,∴,∴,∴数列为首项为,公比为的等比数列,∴,∴,∵,∴为等差数列,∴,,记当n∈N*时,为的单调递减函数,∴恒成立的充分必要条件是,解得或,故选:D6.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,有一种茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至55℃时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员在室温下,每隔1min测一次茶水温度,得到数据如下:放置时间/min012345茶水温度/℃85.0079.0073.6068.7464.3760.43为了描述茶水温度与放置时间的关系,现有以下两种函数模型供选择:①,②.选择最符合实际的函数模型,可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(    )(参考数据:,)A.6min B.6.5min C.7min D.7.5min【答案】B【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势,可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值,进而将最佳口感温度代入所求得解析式,利用对数的运算性质求得的值,即可做出判断.【详解】由表格中数据可得,每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,  呈现越来越小的变化趋势,故选用模型①为更符合实际的模型.由时,,代入,得,解得.∴.由时,可得,解得,∴,由,得,∴,,刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,故选:B.7.如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的两点反射后,分别经过点和,且,,则双曲线的离心率为(    )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题意,利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件,判定,结合已知条件得到,设出,表示出直角三角形的其余边,结合双曲线的定义表示出,利用建立方程求得,进而求得,然后利用勾股定理求得,从而得到,从而得到离心率的值.【详解】如图,由,有,可得,可得,有.在Rt中,由,不妨设,则,由勾股定理得,又由双曲线的定义可得,,根据可得,解得,所以,在Rt中,,可得,故双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】8.如图,正四面体ABCD的顶点C在平面α内,且直线BC与平面α所成的角为45°,顶点B在平面α内的射影为O,当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面α所成角的正弦值等于( )A. B.C. D.【答案】A【分析】由题意知:当四点共面时,顶点与点的距离最大,设此平面为,由面面垂直判定定理结合,证出,过作于,连结,根据面面垂直与线面垂直的性质证出,从而点到平面的距离等于点到平面的距离.设正四面体的棱长为1,根据与平面所成的角为和正四面体的性质算出到平面的距离,从而在中,利用三角函数线的定义算出,即得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】∵四边形中,顶点与点的距离最大,∴四点共面,设此平面为,如图,过点作平面,垂足为,连接,设正四面体的棱长为1,则在中,.,直线与平面所成的角为45°,,结合得,因此到平面的距离过点作于,连接,则就是直线与平面所成的角,且,由此可得点到平面的距离等于点到平面的距离,即,∴在中,,即直线与平面所成角的正弦值等于.故选A.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用,直线与平面所成角的定义与求法等知识.试题的难点在于发现“当顶点A的运动轨迹是绕着在旋转,且,所以当点与点的距离最大时,四点共面”,对逻辑推理和空间想象能力要求较高.二、多选题9.以下结论正确的是()A.根据列联表中的数据计算得出,而,则根据小概率值的独立性检验,认为两个分类变量有关系B.的值越大,两个事件的相关性就越大C.在回归分析中,相关指数越大,说明残差平方和越小,回归效果越好D.在回归直线中,变量时,变量的值一定是15【答案】ABC【分析】AB选项,根据独立性检验的定义和性质进行求解;CD选项,根据回归直线的概念和性质进行求解.【详解】对于A,,故根据小概率值的独立性检验,认为两个分类变量有关系,即A正确:对于B,越大,“与有关系”可信程度越大,相关性就越大,即B正确;对于C,在回归分析中,相关指数越大,说明残差平方和越小,回归效果越好,即C正确;对于D,回归直线方程中,当变量等于200时,的值平均是15,不能说一定是15,故D错误.故选:ABC.10.已知角,是锐角三角形的三个内角,下列结论一定成立的有(    )A. B.C. D.【答案】ABC【分析】根据三角形内角和及诱导公式,三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知,,,即A、B、C结论成立.对于D,由锐角三角形知,,得,因此,所以错误.故选:ABC11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为线段的中点,过点作抛物线的切线,则下列说法正确的是(   )A.的最小值为B.当时,C.以线段为直径的圆与直线相切D.当最小时,切线与准线的交点坐标为【答案】ACD【分析】先设直线的方程为,再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程,从而得到,,再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A;先结合A得到,,再根据题意得到,,进而即可判断B;设,,在准线上的射影为,,,根据题意求得即可判断C;结合A可得,当最小时,不妨取,则可设切线的方程,再抛物线方程得到关于的一元二次方程,从而得到,从而得到切线方程,再联立准线方程即可求出交点,进而即可判断D.【详解】对于A,依题意可设直线的方程为,,,,则,,联立,消整理得,则,代入得,则,当且仅当时取等号,所以的最小值为,故A正确;对于B,结合A可得,,由,得,解得,,故B错误;对于C,由题意得抛物线的准线方程为,焦点,设,,在准线上的射影为,,,则,,,所以以线段为直径的圆与直线相切,故C正确;对于D,结合A可得,当最小时,不妨取,则可设切线的方程为,联立,消整理得,则,解得,所以切线的方程为,联立,解得,,即切线与准线的交点坐标为,故D正确.故选:ACD.12.已知曲线在点处的切线与曲线相切于点,则下列结论正确的是(    )A.函数有2个零点B.函数在上单调递增C.D.【答案】BCD【分析】根据导数的性质,结合导数的几何意义、函数零点定义、函数单调性的性质、对数的运算逐一判断即可.【详解】A:,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,单调递增,函数的极大值为,极小值为,因此当时,,当时,,当时,,因此函数只有一个零点,因此本选项不正确;B:,,当时,根据函数单调性的性质可知函数单调递减,所以当时,,所以函数在上单调递增,本选项正确;C:,因此曲线在点处的切线方程为:,,因此曲线相切方程为:,因为曲线在点处的切线与曲线相切于点,所以,因此,所以本选项正确;D:由上可知:,因此有,因此本选项正确,故选:BCD【点睛】关键点睛:本题的关键是利用导数的几何意义求出两个曲线的切线方程,进而运用对数的运算性质进行判断.三、填空题13.的展开式中的系数为.(用数字作答)【答案】【分析】由二项式定理得到的通项公式,结合,得到,得到的系数.【详解】的通项公式为,令得,,此时,令得,,此时,故的系数为故答案为:14.已知正项数列的前项积为,且满足,则.【答案】【分析】由题意首先得,然后由的关系结合已知递推关系式得数列是等比数列,由此即可得解.【详解】由题意,因为,所以,又因为,且当,所以,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以.故答案为:.15.在棱长为3的正方体中,点E满足,点F在平面内,则的最小值为.【答案】【分析】在正方体中找到点关于平面的对称点,利用几何关系求的最小值.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,棱长为3,,所以,,,,,设直线与平面的交点为,由正方体性质可知,,,平面,平面,所以平面,所以在平面的投影为,且,则关于平面的对称点即点关于的对称点,设为G,则为,所以的最小值为,为.故答案为:.【点睛】16.已知不等式对恒成立,则当取最大值时,.【答案】【分析】由题设,结合、的性质及不等式恒成立得,再构造,利用导数研究其最小值得且,根据不等式恒成立得,应用基本不等式求最大值并确定取值条件,此时有恒成立即可求参数值.【详解】由,且,若,则在趋向于0时,函数值趋向,而趋向于,此时在上不能恒成立,所以,令且,则,令且,则,所以时,递减,时,递增,则,且时,趋向正无穷时趋向正无穷,故,使,即,所以时,即,时,即,所以上递减,上递增,则,要使对恒成立,只需恒成立,所以,即,当且仅当,即时等号成立,结合已知参数比值取最大值,此时,则,故,即.故答案为:【点睛】关键点点睛:首先确定,再构造研究最小值,根据不等式恒成立有,结合等号成立条件求参数m的值.四、解答题(共70分)17.(本题10分)在中,内角所对的边分别为,已知,且.(1)求;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式,结合已知等式,化简,结合,可得A的值;(2)由已知根据余弦定理可得,利用正弦定理可得联立即可解得λ的值.【详解】(1),,;(2),,而,,而,所以有.【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理,考查了数学运算能力.18.(本题12分)已知点是函数(且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少?【答案】(1),.;(2)最小正整数为67.【分

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