广东省深圳外国语学校2023-2024年高三第二次模拟测试数学答案详解

绝密★启用前深圳外国语学校2023-2024年高三第二次模拟测试数学（新课标I卷）答案详解试卷类型：A本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（    ）A．2 B．0 C． D．【答案】A【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，所以，所以.故选：A.2．已知集合，，则A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出集合A、B，再按交集的定义运算即可.【详解】由，得，所以，由，得，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及到求函数的定义域，解一元二次不等式，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.3．已知，，均为单位向量，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可．【详解】，，则，即，则故选：C4．函数在区间上的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和指数函数的性质，排除选项得出正确答案．【详解】是偶函数，排除选项B和D当时，，，即，排除选项C故选：A5．已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】利用和与项的一般关系求得数列的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到，利用等差数列的求和公式得到,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于的不等式，求解即得.【详解】由得,∴,,∴,∴,∴数列为首项为，公比为的等比数列，∴,∴，∵，∴为等差数列，∴,,记当n∈N*时，为的单调递减函数，∴恒成立的充分必要条件是,解得或，故选：D6．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间/min012345茶水温度/℃85.0079.0073.6068.7464.3760.43为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②．选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（    ）（参考数据：，）A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min【答案】B【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断.【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,  呈现越来越小的变化趋势，故选用模型①为更符合实际的模型.由时，，代入，得,解得.∴.由时,可得，解得,∴,由,得,∴,,刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,故选:B.7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件，判定，结合已知条件得到，设出，表示出直角三角形的其余边，结合双曲线的定义表示出，利用建立方程求得，进而求得，然后利用勾股定理求得，从而得到，从而得到离心率的值.【详解】如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，根据可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】8．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于( )A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意知：当四点共面时，顶点与点的距离最大，设此平面为，由面面垂直判定定理结合，证出，过作于，连结，根据面面垂直与线面垂直的性质证出，从而点到平面的距离等于点到平面的距离．设正四面体的棱长为1，根据与平面所成的角为和正四面体的性质算出到平面的距离，从而在中，利用三角函数线的定义算出，即得到直线与平面所成角的正弦值．【详解】∵四边形中，顶点与点的距离最大，∴四点共面，设此平面为，如图，过点作平面，垂足为，连接，设正四面体的棱长为1，则在中，.，直线与平面所成的角为45°，，结合得，因此到平面的距离过点作于，连接，则就是直线与平面所成的角，且，由此可得点到平面的距离等于点到平面的距离，即，∴在中，，即直线与平面所成角的正弦值等于.故选A.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用，直线与平面所成角的定义与求法等知识．试题的难点在于发现“当顶点A的运动轨迹是绕着在旋转，且，所以当点与点的距离最大时，四点共面”，对逻辑推理和空间想象能力要求较高．二、多选题9．以下结论正确的是（）A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系B．的值越大，两个事件的相关性就越大C．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15【答案】ABC【分析】AB选项，根据独立性检验的定义和性质进行求解；CD选项，根据回归直线的概念和性质进行求解.【详解】对于A，，故根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系，即A正确：对于B，越大，“与有关系”可信程度越大，相关性就越大，即B正确；对于C，在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即C正确；对于D，回归直线方程中，当变量等于200时，的值平均是15，不能说一定是15，故D错误.故选：ABC.10．已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知，，，即A、B、C结论成立.对于D，由锐角三角形知，，得，因此，所以错误.故选：ABC11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（   ）A．的最小值为B．当时，C．以线段为直径的圆与直线相切D．当最小时，切线与准线的交点坐标为【答案】ACD【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D．【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，联立，消整理得，则，代入得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B，结合A可得，，由，得，解得，，故B错误；对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，设，，在准线上的射影为，，，则，，，所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程为，联立，消整理得，则，解得，所以切线的方程为，联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．故选：ACD．12．已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（    ）A．函数有2个零点B．函数在上单调递增C．D．【答案】BCD【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、函数零点定义、函数单调性的性质、对数的运算逐一判断即可.【详解】A：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，函数的极大值为，极小值为，因此当时，，当时，，当时，，因此函数只有一个零点，因此本选项不正确；B：，，当时，根据函数单调性的性质可知函数单调递减，所以当时，，所以函数在上单调递增，本选项正确；C：，因此曲线在点处的切线方程为：，，因此曲线相切方程为：，因为曲线在点处的切线与曲线相切于点，所以，因此，所以本选项正确；D：由上可知：，因此有，因此本选项正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出两个曲线的切线方程，进而运用对数的运算性质进行判断.三、填空题13．的展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数.【详解】的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为故答案为：14．已知正项数列的前项积为，且满足，则.【答案】【分析】由题意首先得，然后由的关系结合已知递推关系式得数列是等比数列，由此即可得解.【详解】由题意，因为，所以，又因为，且当，所以，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.15．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为．【答案】【分析】在正方体中找到点关于平面的对称点，利用几何关系求的最小值.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，，所以，，，，，设直线与平面的交点为，由正方体性质可知，，，平面，平面，所以平面，所以在平面的投影为，且，则关于平面的对称点即点关于的对称点，设为G，则为，所以的最小值为，为.故答案为：.【点睛】16．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，．【答案】【分析】由题设，结合、的性质及不等式恒成立得，再构造，利用导数研究其最小值得且，根据不等式恒成立得，应用基本不等式求最大值并确定取值条件，此时有恒成立即可求参数值.【详解】由，且，若，则在趋向于0时，函数值趋向，而趋向于，此时在上不能恒成立，所以，令且，则，令且，则，所以时，递减，时，递增，则，且时，趋向正无穷时趋向正无穷，故，使，即，所以时，即，时，即，所以上递减，上递增，则，要使对恒成立，只需恒成立，所以，即，当且仅当，即时等号成立，结合已知参数比值取最大值，此时，则，故，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先确定，再构造研究最小值，根据不等式恒成立有，结合等号成立条件求参数m的值.四、解答题（共70分）17．（本题10分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简，结合，可得A的值；（2）由已知根据余弦定理可得，利用正弦定理可得联立即可解得λ的值．【详解】（1），，；（2），，而，，而，所以有.【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.18．（本题12分）已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？【答案】(1),．；(2)最小正整数为67．【分