2024届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期2月一模考试数学试题

绝密★启用前数学考试全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，若为纯虚数，则（）A.B.2C.1D.3.已知为奇函数，则（）A.-2B.2C.1D.-14.某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）A.0.12B.0.20C.0.44D.0.325.已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为2和，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，则下列结论正确的有（）A.若圆和圆外离，则B.若圆和圆外切，则C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线D.当时，圆和圆相交10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.当时，的最小正周期为B.当时，的最小值为C.当时，在区间上有4个零点D.若在上单调递减，则11.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（）A.B.四面体的体积为C.当时，点的轨迹长度为D.当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.13.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.16.（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线长.17.（本小题满分15分）如图1，在平面四边形中，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.（1）在图2中，证明：平面；（2）求图2中直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）设函数，讨论的单调性；（2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：.数学考试参考答案､提示及评分细则1.B由，解得，所以，所以，故选B.2.B，若为纯虚数，则，故选B.3.A当时，，所以，所以，故选A.4.C由题意，选到非碳酸饮料的概率为.44，故选C.5.B设数列的公比为，首项为，则，即，满足必要性.当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.6.D，即对任意恒成立，即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以，故选D.7.A设，则.故选A.8.C，可知是中点，两点关于原点对称，，设，则.故选C.9.BCD.若和外离，则，解得或，故错误；若和外切，，解得，故B正确；当时，和内切，故C正确；当时，和相交，故D正确，故选BCD.10.AB当时，，所以的最小正周期为选项正确；当时，，所以的最小值为选项正确；当时，，令，解得或，此时或或在区间上有3个零点，C选项错误；，设，易知在上单调递减，且，根据复合函数的单调性，在上单调递增，所以，解得选项错误.故选.11.AC依题意，，将四面体放入长方体中，设长方体的长，宽，高分别为，则，解得，所以选项正确；由于，即异面直线和的距离为，且，所以四面体的体积为选项错误；由可知，四面体的外接球半径为，易知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，则，解得，所以的轨迹长度为，C选项正确；易知的外接圆半径为，所以球心到所在平面的距离为，三棱锥的体积为，又由，所以点的轨迹长度大于，D选项错误，故选AC.12.105恰有两名女生人选的选法有种，恰有3名女生人选的选法有种，恰有4名女生人选的选法有种，所以至少有两名女生人选的选法有（种）.13.设，则，根据三角形相似可得，，且，因为，所以.14.设，则，设切点为，则切线方程为，整理可得.所以解得，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.15.解：（1），解得，依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为（小时）；（2）100名学生的睡眠充足的频率为，以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，所以至少有两人睡眠时长充足的概率为.16.解：（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依题意，，解得，又，所以，由正弦定理可得，又，所以，设的中点为，则，所以，所以边上的中线长为.17.（1）连接交于点，连接，，平面平面平面，（2）解：在图1中，，在图2中，，平面，，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则可取，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.解：（1）设，则线段的中点坐标为，因为以为直径的圆与轴相切，所以，化简得，所以的方程为；（2）设，由，则点处的切线斜率为，所以直线方程为，整理为，令，则，所以，易知直线斜率为，所以直线，整理为，与联立可得，有，解得，即的横坐标为，所以，，所以面积为，又，当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为.19.解：（1），，当时，在上恒成立，则在上单调递增，当时，单调递减，单调递增，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）分别是的极大值点和极小值点，.所以.，综上，要证，只需证，因为，即证：，设.所以，所以在上单调递增，所以.所以成立.