四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学答案

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届入学考试理科答案选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集，能表示集合与，关系的图是 A．B．C．D．【解答】解：全集，集合，1，，，，，能表示集合，，关系的图是．故选：．2.已知向量，，则在方向上投影为 A． B． C． D．解：由，，则在方向上的投影向量为：．故选：．3．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：时间12345销售量（千只）0.50.81.01.21.5若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是 A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B．线性回归方程中 C．残差的最大值与最小值之和为0 D．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）【解答】解：从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故正确；由已知数据易得，代入中得到，故错误；，，，，，，，，，，，残差的最大值与最小值之和为0，故正确；时该商场手机销量约为，故正确．故选：．4．方程表示双曲线的必要不充分条件可以是 A．B．，， C．D．【解答】解：若方程表示双曲线，则，解得：，则：方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含，选项故选：．5．执行如图所示的程序框图，若依次输入，，，则输出的结果为 A．B．C． D．以上都不对【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出、、中的最小数，：．，．故选：．6．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则A． B． C． D．【解答】解：的面积，可得：，又故选：．7.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为 A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：因为等差数列中，，，，则，两式相加得，，即，因为，所以．故选：．8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为 A．1 B．2 C． D．【解答】解：由题意几何体是四棱锥，过作于，在正方体中有平面，所以，又因为，所以平面，所以四棱锥的高为，在中，，，，故，，故，解得．所以该四棱锥的高为：．故选：．9．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是 A． B． C． D．【解答】解：设，，，在上的射影分别为，，则，，故．又，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，故．故选：．10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是 A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为解：对于，正方体中，，，、是线段上有两个动点，，故正确；对于，，到的距离为定值，是定值，点到平面的距离为定值，多面体的体积为定值，故正确；对于，，当为中点时，，故正确；对于，取中点，中点，当与或重合时，直线与直线所成的角最大，，故错误．故选：．11．已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于，两点，直线与圆交于，两点，则四边形的面积的值最大是 A． B． C． D．【解答】解：根据题意，圆的圆心为且半径为3，则圆的方程为，即，直线与圆相交于，两点，则有，解可得：或，即、的坐标为，，则，且的中点为，，直线，变形可得，直线恒过定点，，设，，当与垂直时，四边形的面积最大，此时的方程为，变形可得，经过点，则此时，故的最大值，故，故选：．12．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中正确结论的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．412．C【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数，令，可得，，因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，解得，即，可得，即，解得，即③正确；对于①，当时，，即可得，显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，的最小正周期为，易知，所以的最小正周期可能是，即②正确；对于④，当时，；由可知，由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若，则的共轭复数为_________【详解】依题意，所以的共轭复数为.14．在的展开式中，含的项的系数是__________.（用数字作答）【详解】展开式的通项为，其中常数项为，含的项为，又因为，所以原展开式中含的项的系数为：，故答案为：.15.已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为.详解】连接点与中点，即有，由，故，由，则，即，由椭圆定义可得、，故，即，则、，由故，则，即，解得（负值舍去）.故答案为：.16.若函数与的图像在实数集上有且只有3个交点，则实数的取值范围为__________.【详解】即仅有3个解，显然不是该方程的解，则，即仅有3个解，设，定义域关于原点对称，且满足。即为奇函数，考虑时的情况，，，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，则函数极大值为，且当时，；当时，；结合函数为奇函数，即可作出函数的图象如图示：由于仅有3个解，故与函数的图象仅有3个交点，结合图象可得或，即或，故答案为：或三、解答题（本题共6道小题，共70分）17.已知数列的首项为，且满足，数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求．【解答】解：（1）证明：，，，，当时，上式成立，，；………………………………………5分（2）由（1）得，①，②，①②得，，．……………………………………….12分18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；（Ⅱ）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望．【解答】解：（1）由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，所以分层抽样抽取的9人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2人，3人，4人，记事件为“员工被抽到”，则（A）．………………………………….4分（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，则（B），所以的所有可能取值为2，5，8，（B），（B），，……………………………………….8分所以的分布列如下，258所以数学期望．……………………………………….12分19．如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，．，连接，．（Ⅰ）若为边上一点，，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）梯形与所在平面垂直，，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，．，连接，．为边上一点，，，4，，，0，，，0，，，0，，，4，，，0，，，4，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，3，，，平面，平面．……………………………………….5分解：（Ⅱ），，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，，，，平面的法向量，3，，设二面角的平面角为，则．……………………………………….10分由图知二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为．……………………………………….12分20．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.因为直线经过、，，所以，直线的方程为，设点、，联立可得，由，得，.        ……………………………………………………………………….2分所以，，因此，.……………………………………………………………………….5分（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中．联立可得，设、，则，由韦达定理可得，，………………………………………………………….6分易知且，将代入直线的方程可得，即点，所以，……………………………………………………….8分同理可得，…………………………………………………….9分所以，……………………………………………….11分当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.……………………………………………….12分21．已知函数.（Ⅰ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数和有公切线，求实数的取值范围.【详解】（1）由题意，当时，设，则，，……………………………….1分令，得（舍负）在上单调递减，在上单调递增，.……………………………….2分根据题意的取值范围为.……………………………….4分（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，，代入得.问题转化为：关于的方程有解，……………………………….6分设，则函数有零点，，当时，.问题转化为：的最小值小于或等于0.………………………………7分，设，则当时，，当时，.在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.……………………………9分由知，故.设，则，故在上单调递增，当时，，的最小值等价于.……………………………11分又函数在上单调递增，.…………………………12分22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.（Ⅰ）求和的直角坐标方程；（Ⅱ），直线与C交于MN两点，求两点的极坐标【详解】（1）方法一：曲线:由题意得，即，然后代入，即可得到曲线C的普通方程，………………3分备注：若没有扣点，则扣1分而直线，将代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程.………………2分方法二：因为，所以C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为：；方法三：由万能公式：，令，则有，由椭圆的常用参数方程可得：，直线的方程为：.（2）设，联立得.解得，点的坐标为，点的坐标为………………6分所以点的极坐标为，………………8分点的极径为………………10分23.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设，求证：．【详解】（1）由题设，………………2分而在、、上均能取到最小值，………………3分对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，所以的最小值在上取得，即时，最小值为.………………5分（2）由，仅当取等号，.………………7分要证，即证，则，需证，而，即，所以恒成立，故得证..………………10分备注：此题可用其它方法证明