房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.在复平面内,若复数对应的点为,则()A. B. C. D.3.已知向量,,且与的夹角为,则的值为()A. B. C. D.4.的展开式中的常数项是()A. B. C. D.5.已知,为非零实数,且,则下列结论正确是()A. B. C. D.6.已知直线与圆相切,则实数()A.或 B.或 C.或 D.或7.已知函数满足,且在上单调递减,对于实数a,b,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代,利在千秋,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫米/升)与过滤时间(单位:小时)之间的函数关系为,其中为常数,,为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉,那么再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据:)()A. B. C. D.9.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,为双曲线C左支上一动点,为双曲线C的渐近线上一动点,且最小时,与双曲线C的另一条渐近线平行,则双曲线C的方程可能是()A B.C. D.10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值:“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到:称小于3.1415926的近似值为弱率,大于3.1415927的近似值为强率.由于,取3为弱率,4为强率,计算得,故为强率,与上一次的弱率3计算得,故为强率,继续计算,….若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为弱率,与上一次的强率继续计算得到新的近似值,依此类推.已知,则()A.8 B.7 C.6 D.5第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.函数的定义域是______.12.记为等差数列的前项和,已知,,则______.13.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则______.14.已知平面直角坐标系中,动点到的距离比到轴的距离大2,则的轨迹方程是______.15.如图,在棱长为的正方体中,点是线段上的动点.给出下列结论:①;②平面;③直线与直线所成角的范围是;④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥中,为等腰三角形,,,底面是正方形,,分别为棱,的中点.(1)求证:平面;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求与平面所成角的正弦值.条件①:;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度,所得函数图象关于原点对称.(1)求的值;(2)设,若在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户,在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得流量(单位:MB)数据,如图所示.(1)从2023年12月1日至7日中任选一天,求该天乙获得流量大于丙获得流量概率;(2)从2023年12月1日至7日中任选两天,设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数,求的分布列及数学期望;(3)将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为,,,试比较,,的大小(只需写出结论).19.设椭圆:的左、右顶点分别为,,右焦点为,已知,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知点是椭圆上一个动点(不与顶点重合),直线交轴于点,若的面积是面积的4倍,求直线的方程.20.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求函数的单调递增区间;(3)若函数在区间上只有一个极值点,求的取值范围.21.若无穷数列满足:,对于,都有(其中为常数),则称具有性质“”.(1)若具有性质“”,且,,,求;(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为2的等比数列,,,,判断是否具有性质“”,并说明理由;(3)设既具有性质“”,又具有性质“”,其中,,,求证:具有性质“”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出集合后由交集定义运算可得.【详解】,故.故选:C.2.在复平面内,若复数对应的点为,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数,再利用复数的乘法可求得的值.【详解】在复平面内,若复数对应的点为,由复数的几何意义可得,因此,.故选:A.3.已知向量,,且与的夹角为,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先表示出,然后根据求解出的值.【详解】因为,,所以,所以,解得或(舍去),故选:B.4.的展开式中的常数项是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式通项,令的指数为零,求出参数的值,代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为,令,可得,因此,展开式中的常数项为.故选:B.5.已知,为非零实数,且,则下列结论正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对A、B、C举反例即可得,对D作差计算即可得.【详解】对A:若,则,故错误;对B:若,则,故错误;对C:若,则,,左右同除,有,故错误;对D:由且,为非零实数,则,即,故正确.故选:D.6.已知直线与圆相切,则实数()A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径,可求得实数的值.【详解】圆的圆心为,半径为,因为直线与圆相切,则,即,解得或.故选:D.7.已知函数满足,且在上单调递减,对于实数a,b,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,可得函数是R上的偶函数,利用充分条件、必要条件的定义,结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数满足,得函数是R上的偶函数,而在上单调递减,因此,所以“”是“”的充要条件.故选:C8.保护环境功在当代,利在千秋,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫米/升)与过滤时间(单位:小时)之间的函数关系为,其中为常数,,为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉,那么再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据:)()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得,解得,从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式,再将代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉,所以,即所以.再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为.故选:A.9.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,为双曲线C左支上一动点,为双曲线C的渐近线上一动点,且最小时,与双曲线C的另一条渐近线平行,则双曲线C的方程可能是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用双曲线定义确定最小时,点的位置,进而求出的关系即得.【详解】双曲线C:的渐近线为,由对称性不妨令点在第二象限,由双曲线定义得,当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号,因此的最小值为的最小值与的和,显然当与渐近线垂直时,取得最小值,而平行于渐近线,于是双曲线的两条渐近线互相垂直,即,则双曲线的渐近线方程为,显然选项ABD不满足,C满足,所以双曲线C的方程可能是.故选:C10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值:“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到:称小于3.1415926的近似值为弱率,大于3.1415927的近似值为强率.由于,取3为弱率,4为强率,计算得,故为强率,与上一次的弱率3计算得,故为强率,继续计算,….若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为弱率,与上一次的强率继续计算得到新的近似值,依此类推.已知,则()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出.【详解】因为为强率,由可得,,即为强率;由可得,,即为强率;由可得,,即为强率;由可得,,即强率;由可得,,即为弱率,所以,故选:B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得、,故且,故该函数定义域为.故答案为:.12.记为等差数列的前项和,已知,,则______.【答案】【解析】【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.【详解】设,则,即,故.故答案为:.13.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件,利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在中,由及正弦定理,得,则,整理得,而,因此,又,所以.故答案为:14.已知平面直角坐标系中,动点到的距离比到轴的距离大2,则的轨迹方程是______.【答案】或【解析】【分析】设出点的坐标,利用已知列出方程化简即得.【详解】设点,依题意,,即,整理得,所以轨迹方程是或.故答案为:或15.如图,在棱长为的正方体中,点是线段上的动点.给出下列结论:①;②平面;③直线与直线所成角的范围是;④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则有、、、、、、、,则、、、、、、,设,,则,,故,故①正确;设平面的法向量为,则有,即,取,则,有,故,又平面,则平面,故②正确;当时,有,此时,即,即此时直线与直线所成角为,故③错误;由,,则,故④正确.故答案为:①②④.【点睛】关键点睛:对空间中线上动点问题,可设出未知数表示该动点分线段所得比例,从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥中,为等腰三角形,,,底面是正方形,,分别为棱,的中点.(1)求证:平面;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求与平面所成角的正弦值.条件①:;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由线面平行的判定定理即可得;(2)选①,由题意及去推导得到、、两两垂直,即可建立空间直角坐标系解决问题;选②,由题意及结合勾股定理的逆定理去推导得到、、两两垂直,即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点与中点、连接,又,分别为棱,的中点,故、,又底面是正方形,故、,故且,故四边形为平行四边形,故,又平面,平面,故平面;【小问2详解】选条件①:,由且为等腰三角形,故,又,故,有,由,,、平面,,故平面,又平面,故,故、、两两垂直,故可以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,有、、、、、,则、、,令平面的法向量为,则有,即,令,则,则,故与平面所成角的正弦值为
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