数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,,则中的元素个数为()A.3 B.4 C.5 D.62.已知复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量,均为单位向量,且它们的夹角为,则()A.7 B.3 C. D.14.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来,这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为,且甲、乙两人射箭的结果互不影响,若两人各射箭一次,则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为()A. B. C. D.5.秦九韶(1208年~1268年),字道古,祖籍鲁郡(今河南省范县),出生于普州(今四川安岳县).南宋著名数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》,其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法,也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献.设的三个内角,,所对的边分别为,,,面积为,秦九韶提出的“三斜求积术”公式为,若,,则由“三斜求积术”公式可得的面积为()A. B. C. D.16.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就,这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外,还有着几何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为:圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等,已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥,其母线长,底面的半径为,则该屋顶的体积约为()A. B. C. D.7.已知等比数列中所有项均为正数,,若,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知直线过双曲线的左焦点,且与双曲线的左支交于,两点,并满足,点与点关于原点对称,若,则双曲线的离心率()A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称,当时,,则()A. B.C. D.10.已知圆上的两个动点,始终满足,直线与轴交于点(,,三点不共线),则()A.直线与圆恒有交点 B.C.的面积的最大值为 D.被圆截得的弦长最小值为11.已知正方体的棱长为1,点,分别为线段,的中点,点满足,点为棱(包含端点)上的动点,则下列说法正确的是()A.平面截正方体得到的截面多边形是矩形B.二面角的大小为C.存在,使得平面平面D.若平面,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为12.已知函数的图象与直线有三个交点,记三个交点的横坐标分别为,,,且,则下列说法正确的是()A.存在实数,使得B.C.D.为定值三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.的二项展开式中,项的系数为______.14.“圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球,且球与圆锥的侧面及底面均相切(即圆锥的内切球).已知某圆锥形容器的母线与底面所成的角为,底面半径为2,则该圆锥内切球的表面积为______.(容器壁的厚度忽略不计)15.《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,已知“鳖臑”中,平面,,,,则“鳖臑”外接球体积的最小值为______.16.已知平面向量,,,满足:,,,,设向量(,为实数),则的取值范围为______.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数的最小正周期为.(1)求的值,并写出的对称轴方程;(2)在中,角,,的对边分别是,,,且满足,求函数的取值范围.18.(本小题满分12分)已知数列为等差数列,,且.(1)求;(2)记为数列的前项和,求.19.(本小题满分12分)某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测,为此,他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩(满分150分),若考试成绩超过100分则称为“破百”.甲:74,85,81,90,103,89,92,97,109,95;乙:95,92,97,99,89,103,105,108,101,113;丙:92,102,97,105,89,94,92,97.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立.(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率;(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为,求的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,,,为的中点,平面平面.(1)证明:平面;(2)若,二面角的余弦值为,求平面与平面夹角的余弦值.21.(本小题满分12分)已知椭圆的左焦点为,上顶点为,离心率为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过且斜率为的直线与椭圆交于,两点,椭圆的左、右顶点分别为,,证明:直线与的交点在定直线上.22.(本小题满分12分)已知函数,.(1)若,求函数的值域;(2)是否存在正整数,使得恒成立?若存在,求出正整数的取值集合;若不存在,请说明理由.贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷(五)数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CDDDBAAC【解析】1.,,共5个元素,故选C.2.因为,则在复平面内对应的点位于第四象限,故选D.3.,所以,故选D.4.记“甲射中10环”为事件,“乙射中10环”为事件,,甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为:,故选D.5.由得,,由题意得,故,故选B.6.如图所示为该圆锥轴截面,由题知该圆锥的底面半径为,高为,所以该屋顶的体积约为,故选A.7.设的公比为,则,因为,所以,解得或(舍去),,故,即,,当且仅当,即,时,等号成立,故的最小值等于,故选A.8.设双曲线的右焦点为,连接,,,又因为,所以四边形为矩形,设,则,由双曲线的定义可得:,,又因为为直角三角形,所以,即,解得,所以,,又因为为直角三角形,,所以,即:,所以,即,故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)题号9101112答案BDABDACDBCD【解析】9.已知函数为上的奇函数,则,即,解得,B正确;A错误;又因为,即,从而周期为8,,,.因为当时,,所以,从而,,,所以,D正确;C错误,故选BD.10.直线与轴交于点,,且在圆内部,所以与恒有公共点,A正确;因为点在圆内部,为钝角,故,B正确;到的最大距离,即到圆心的距离为1,,故C错误;被截得的弦的长度的最小时,圆心到直线的距离最大,且此距离为到圆心的距离为1,故弦长为,故D正确,故选ABD.11.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,设,其中,对于A:连接,,,则,由正方体的性质可得点是侧面的中心,点是正方体的中心,所以连接并延长交侧面于点,则点是侧面的中心,且.设平面交于点,交于点,交于点,连接,,因为平面平面,所以,.因为,平面,所以平面,又平面,所以,所以,易知,所以,所以平面截正方体得到的截面多边形是矩形,故A正确;对于B:,,,设平面的法向量为,则,即,取,则,,故.设平面的法向量为,则,即,取,则,,故,故,而二面角为锐二面角,故其余弦值为,不为,故二面角的平面角不是,故B错误.对于C:因为点是正方体的中心,所以,,三点共线,所以平面即为平面,因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面,即平面平面,当时,点与点重合,平面即为平面,由此可知平面平面,即平面平面,故正确;对于D:设直线与平面所成的角为.因为平面,故为平面的法向量,而,故,而,,故D正确,故选ACD.12.由方程,可得.令,则有,即.令函数,则,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,作出图象如图所示,要使关于的方程有三个不相等的实数解,,,且,结合图象可得关于的方程一定有两个实根,,且,或,,令,若,,则故.若,,则无解,综上,故C正确;由图结合单调性可知,故B正确;若,则,又,故A不正确;,故D正确,故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)题号13141516答案960【解析】13.的二项展开式的通项公式为,令,得,所以项的系数为.14.作圆锥的轴截面图,如图,由图,母线与底面所成的角为,为等边三角形,又,所以,所以在正中,,设内切球球心为,则在上,且,在中,,所以,解得,所以外接球表面积.15.根据题意三棱锥可以补成分别以,,为长、宽、高的长方体,如图,其中为长方体的对角线,则三棱锥的外接球球心即为的中点,要使三棱锥的外接球的体积最小,则最小.设,则,,,所以当时,,则有三棱锥的外接球的球半径最小为,所以.16.如图所示建立坐标系,以为坐标原点,边长为2的正方形的,所在直线为轴、轴,设,,为线段上一点,则,又,以为圆心,为半径画圆,点为圆上一点,设,,,,所以,,所以,所以,它表示斜率为,纵截距为的直线,当圆心为点时,与相切且点在轴的下方时,,此时,取得最小值;当圆心为点时,经过圆心时,,此时,取得最大值,的取值范围为.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解:(1).,,故,令,,解得,,故对称轴方程为:,.(2)由得,.,,,,,,,,.18.(本小题满分12分)解:(1)因为数列为等差数列,所以,,为该数列第、、项,并设公差为,因为,且,所以,解得:,所以的通项公式为:,即,所以.(2)由(1)可得:,所以,所以,即,所以,整理得:,所以数列的前项和为:.19.(本小题满分12分)解:(1)甲同学“破百”的概率为,乙同学“破百”的概率为,丙同学“破百”的概率为.(2)的可能取值为0,1,2,3,则:,,,,所以的分布列为0123所以,期望.20.(本小题满分12分)(1)证明:如图,连接与相交于点,连接,三棱柱中,侧面是平行四边形,则为的中点,又为的中点,有,平面,平面,所以平面.(2)解:平面平面,平面平面,底面为正三角形,为的中点,则,平面,则平面,,平面,,,则二面角的平面角为,有余弦值为,中,由余弦定理,即,解得,过作直线的垂线,垂足为,则,故在的延长线上,,,,,四边形为矩形,则,以为原点,,,分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的一个法向量为,则有,令,则,,即.,,设平面的一个法向量为,则有,令,则,,即,平面与平面夹角的余弦值为.21.(本小题满分12分)(1)解:依题意可得:.又,,故,,所以椭圆的标准方程为.(2)证明:由(1)得,所以直线的方程为,由可得,设,,显然,所以,,故.由(1)可得,,则直线的方程为,直线的方程为.设直线与的交点坐标为,则,故,解得,故直线与的交点在直线上.22.(本小题满分12分)解:(1)由题设,则,若,则,,可得,递增;若,则,,可得,递减.又,,,综上,的值域为.(2)由,,则,令,,则,且,当,(舍);当,则,故,令,则,又,对于,有,即递增,所以,故恒成立,所以,即在上递增,又,则,所以在上递增,又,即,,符合题意;当,令,则,,所以(舍);综上,正整数的取值集合为.
贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高三上学期高考适应性月考卷(五)数学试卷
VIP会员专享最低仅需0.2元/天
VIP会员免费下载,付费最高可省50%
开通VIP
导出为PDF
图片预览模式
文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片