陕西省宝鸡市2023-2024学年高三上学期高考模拟检测（一）数学（理科）试题

绝密★考试结束前2024年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．1．若集合中只有一个元素，则实数（）A．1 B．0 C．2 D．0或12．已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．展开式中的第四项为（）A． B． C．240 D．4．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．5．已知直线和圆交于A，B两点，O为坐标原点，则“”是“的面积为”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．在空间中，下列说法正确的是（）A．若的两边分别与的两边平行，则B．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，，则这两个二面角互补C．若直线平面，直线，则D．到四面体的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面有且仅有7个7．已知，则（）A． B． C． D．8．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给），两个饮水站中间设置一个用水站（志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者），共15个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的15支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为（）A． B． C． D．10．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，其中点A在第一象限，则（）A．3 B． C．2 D．411．已知函数满足：，且，则的值可能是（）A．17 B．21 C．25 D．2912．设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，P为它们的一个交点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是__________．14．设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则__________．16．已知函数，若且，则的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年蛉在人数X的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（本小题满分12分）已知四棱锥中，，，，，M为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知数列，若，且．（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）已知，求证：当时，恒成立；（3）设，求证：当函数恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（其中t为参数，），且直线l和曲线C交于M，N两点．（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线l的普通方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知，若的解集为．（1）求实数m，n的值；（2）已知a，b，c均为正数，且满足，求的最小值．2024年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．123456789101112DDBCBDCBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13． 14． 15． 16．三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：是否使用扫地机器人年龄是否440110270180故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．（2）由条件可知：X的所有取值有0，1，2，3，，，，，，分布列为X0123P．18．【详解】（1）证明：设H为的中点，连接，，，，又，，，又，平面，，又，，四边形为矩形，且．设N为的中点，连接，，则，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面．（2）由，得，，如图建系，则，，，，，，设平面的法向量，由得：得一个法向量为，平面的一个法向量为，，故二面角的余弦值为．19．【详解】（1），，又，是首项为2，公比为2的等比数列．，．（2），且结合（1）得，，，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即．由题意可得，解得，只需，解得，综上所述，实数a的取值范围是．20．【详解】（1）设，，，，，，，，动点P的轨迹C的方程．（2）依题的斜率不为0，所以设，，，联立得，，得，，．又因为O到的距离，，．又因为，，代入韦达定理得，化简得，综上，的面积是定值，且该定值为．21．【详解】（1）时，，．所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．即的递增区间为，递减区间为．（2）因为，，令，则，令，则，即在上单调递减，且，，即存在唯一，使，且，又因为，则，所以时，恒成立．即．（3）由（2）知函数的零点就是函数的零点，当有唯一零点时，设为，则，又，即该函数的极值点为，代入得，化简得，此方程无解，所以原命题成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．22．【详解】（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，可得曲线C的直角坐标方程为．由得直线l经过的定点P的坐标为．（2）将，代入，得，即，设其两根为，，则，得，即，得，经检验，故直线l的普通方程为：．23．【详解】（1）因为的解集为，所以，得，当时，，得，当时，得，综上解得，，，．（2）由（1）得，，，又a，b，c均为正数，，所以得，所以，当且时，即，取得最小值．