天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)（老教材版）理科数学试题

绝密★启用前试卷类型：老教材版2024届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则的共轭复数（）A．B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．已知向量，若，则（）A．B．2C．D．64．设函数，数列，满足，则（）A．B．C．D．5．记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（）A．B．C．D．6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（）A．B．C．D．7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）A．144B．120C．108D．968．函数的单调递增区间为（）A．B．c．D．9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数，则在区间内的零点个数为（）A．0B．1C．2D．311．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆的离心率为，则______．14．已知满足约束条件，则的最小值是______．15．在正四棱柱中，，平面与棱分别交于点，其中分别是的中点，且，则______．16．已知，若，则的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（Ⅰ）是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.63518．（12分）如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（12分）在数列中，已知．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．20．（12分）已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作为垂足，证明：存在定点，使得为定值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；（Ⅱ）若，当时，，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，已知直线（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若与曲线交于两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设，若的最小值为2，求的最小值．理科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案D命题意图本题考查复数的基本概念和运算．解析，故．2．答案C命题意图本题考查集合的运算．解析因为，所以．3．答案B命题意图本题考查平面向量的数量积．解析，因为，所以，得．4．答案C命题意图本题考查数列的概念与性质．解析由题意知，可知．5．答案C命题意图本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．解析由题意得，则，所以，故，又，所以．6．答案A命题意图本题考查概率的计算．解析未患病者的诊断结果为阴性的概率为，患病者的诊断结果为阴性的概率为q，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为．7．答案A命题意图本题考查排列与组合的应用．解析先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为．8．答案D命题意图本题考查函数的单调性．解析由，得，所以的定义域为．设，易得在上单调递减．当，即时，，此时单调递减，当，即时，，此时单调递增，所以的单调递增区间为．9．答案B命题意图本题考查圆柱与圆锥的结构特征．解析设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得，因为圆锥的侧面积为，所以．故该几何体的体积为．10．答案D命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析令，得，又，所以只能是，得，在区间内，有共3个零点．11．答案A命题意图本题考查双曲线的性质．解析设，显然，则，所以的离心率．由于，所以，所以的取值范围是．12．答案B命题意图本题考查函数的零点、导数的几何意义．解析有两个不同的零点，等价于曲线与有两个不同的交点，当时，，二者不可能有交点，只需考虑时的情况．设，若，则，易知曲线与直线在点处相切；若，当时，，所以，所以曲线与直线没有交点；若，则，所以，曲线与直线有两个交点．综上可得，满足条件的的取值范围是．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查椭圆的性质．解析因为，所以，解得．14．答案命题意图本题考查简单的线性规划问题．解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线过点时取得最小值，且．15．答案3命题意图本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．解析因为平面经过棱的中点，所以四边形为菱形，且易证．又因为，所以平面，所以，且经过的中点．在矩形中利用三角形相似可计算得．16．答案命题意图本题考查三角恒等变换的应用．解析由题意知，由题意知，因此．所以，当且仅当，即时等号成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．解析（Ⅰ）因为，因为，所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（Ⅱ）选出的男性人数为，选出的女性人数为，由题意可得的所有可能取值为0，1，2，，故的分布列为012所以的数学期望．18．命题意图本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．解析（Ⅰ）因为，平面平面，所以平面，又因为平面，所以．在矩形中，为的中点，所以，根据勾股定理可得．因为，所以平面，所以平面平面．（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以．设平面的法向量为，由得令，则．同理可得平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，故，即二面角的余弦值为．19．命题意图本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．解析（Ⅰ）因为，所以．所以是首项为2，公比为2的等比数列．所以，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．设前项和为，则，，两式相减可得，所以．20．命题意图本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可得，解得，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的方程为．由题意可知直线不与轴平行，设直线的方程为，则．联立方程得整理可得，则，且①，②．，同理可得．由题意得，即，将①②代入可得，即．故直线的方程可化为，即，直线过定点．因为于点，所以点在以为直径的圆上，故存在的中点，即，使得，为定值．21．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ），可得在上单调递减，在上单调递增．令，作出与的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数，使得，则，故即，故的取值范围为．（Ⅱ）根据题意，对恒成立，等价于对恒成立．令，则有，令，则，所以在上单调递增，又时，时，，从而存在唯一的，使得，即，可得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，故原不等式恒成立只需，即．构造函数，可得，当时，令，因为，从而可得在时恒成立，又，所以的解集为．又因为，令，易得在定义域内单调递减，所以，所以，故的取值范围为．22．命题意图本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．解析（Ⅰ）由的参数方程可知，由题意知，所以，即，所以的斜率为，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（为参数），代入，得到．设对应的参数分别为，则，故．23．命题意图本题考查绝对值不等式的解法及性质．解析（Ⅰ）将代入，得，等价于或或得或无解或．所以不等式的解集为．（Ⅱ），因为的最小值为2，且，所以．，当且仅当，即，也即时取等号，所以的最小值为4．