黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题

牡丹江市第二子共同体高三大联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x21.已知集合Ax0,xA的一个必要条件是xa，则实数a的取值范围为x1（）A．a0B．a2C．a1D．a11i2.已知z，下列说法正确的是（）2i31324A．z的虚部为iB．ziC．zzD．z55555y2x23.点(0,3)到双曲线1的一条渐近线的距离为（）916A．12B．8C．6D．455554.7个人站成两排，前排3人，后排人4，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式。A．672B．864C．936D．10565．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）A．12B．14C．16D．184sin40cos40tan20（）6.cos20A．1B．2C．3D．2PAQA17.已知点A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，动点P,Q满足，则CPCQPBQB2的取值范围是（）A．[1,16]B．[6,14]C．[4,16]D．[3,35]高三年级·数学·试题第1页共5页{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}8．已知函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)lnxx2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）a21A．ab1B．ealnb2C．a2b23D．b24二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知向量a(1,x)，b(x2,x)，若abab，则x等于（）A．0B．-1C．1D．-210．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA14，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），若D1MMN，则下列说法正确的是（）A．直线CD与直线BD所成角为450B．平面1MNA1D1MC．MNNCD．线段DN长度的最大值为3311.下列不等式正确的是（）112A．已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为a＋1b＋231B．yx22有最小值2x22C．已知正数x，y满足xy2，则xy的最大值是1D．若对任意x0，x35x24xax2恒成立，则实数a的取值范围是,912.已知抛物线y24px(p0)，倾斜角为锐角的直线过其焦点F并与抛物线交于两点A，B，下列正确的是（）A．抛物线上的点到点(4p,0)的距离最小值为4pB．三角形AOB（O为原点）面积最小值为16p2高三年级·数学·试题第2页共5页{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}C．抛物线在点(p,2p)处的切线方程为xyp04D．若AF2BF,则sin229三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学校考试数学成绩X服从正态分布N(95,2)，且P(X70)0.16，则成绩在70,120的概率为．14．在正项等比数列中，已知，，，则＝______．ana1a2a34a4a5a68anan1an2128n15．已知函数y2sin(wx)(w0)在0，上恰有两个零点，则w的取值范围43_______________.x33ax2(x0)16．函数有且只有3个零点，则实数a的取值范围是f(x)x12a(x0)_____________.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在△ABC中，sin2C3sinC．(1)求C；(2)若b6，且△ABC的周长为636，求△ABC的面积．18.（12分）已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、anbna13a11、成等比数列，，a21a31b11a52b2a3，（1）求数列和的通项公式anbna（2）若n，求数列的前项和cnbnlog2cnnSn.an119.（12分）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间。但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数。为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：高三年级·数学·试题第3页共5页{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}710111517温度（零下）xiC201617107出楼人数yi（1）利用最小二乘法，求变量x,y之间的线性回归方程；附：用最小二乘法求线性回归方程ybˆxa的系数：nnxixyiyxiyinxybˆi1i1nnaˆybˆx222xixxinxi1i1（2）预测当温度为8C时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）.（3）为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）.在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为3，设随机变量X表示甲班获胜的局数，5求X的分布列和期望.20.（12分）如图，矩形ABCD中AB2AD4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线翻折成，使，若为线段的中点，DE△A1DEDA1ECMA1C(1)求证：BM//平面A1DE(2)求证：平面A1DE平面BCDE(3)求二面角夹角的正弦值CA1BEx2y22521.（12分）已知椭圆C：1ab0左右焦点分别为F1,F2,离心率为，A，a2b25B为C上的两个动点,且AF1F2面积的最大值为2.(1)求C的方程．(2)若，两点的纵坐标的乘积大于0，、是椭圆的左右顶点，且．ABMNAF2MBF2N证明：直线AB过定点．高三年级·数学·试题第4页共5页{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}322.（12分）已知函数f(x)x23lnx2（1）求f(x)单调区间（2）已知m为整数，关于x的不等式f(xlnx2x1)f(m(x1))在x1时恒成立，求m的最大值.高三年级·数学·试题第5页共5页{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}牡丹江市第二高级中学高三年级第三次教学质量检测试题数学答案x2(x1)(x2)01.C【详解】解不等式0，即，得1x2，x1x10故A{x|1x2}，所以xA的一个必要条件是xa，则对于A,a<0，A{x|1x2}不一定是[a,)的子集，A错误；对于B，a2，A{x|1x2}不是[a,)的子集，B错误；对于C，a1，A{x|1x2}是[a,)的子集，C正确；对于D,a1,A{x|1x2}不一定是[a,)的子集，比如a0时，D错误；(1i)(2i)13i2.Cz,选C(2i)(2i)53.【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：=0，即3x4y0，结合对称性，不妨考虑点(0,3)到直线3x4y0的距离：d==.故选：A.51144.D4A53C2C4A41056,选D。5.【答案】C【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l，解得l=16故选：C2sin800sin2002sin(600200)sin2006.C原式3选C.cos200cos200{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}7.B由题意可知P,Q轨迹为x2y24,当PQ重合且P,Q,O三点共线时，取得最值。即答案B.8.【答案】C【详解】由fx0，gx0得ex2x，lnx2x，因为yex与ylnx关于直线yx对称，在同一坐标系下，画出yex，ylnx，yx，y2x的图象，如图所示：yx则C1,1，Aa,ea，Bb,lnb，A,B关于1,1对称.y2x所以ab2，ealnb2，故B错误.2ab因为a0，b0，a¹b，所以ab1，故A错误.4xx因为fxex2，fxe10，fx在R上为增函数，0131f0e20，fe0，所以0a.222a又因为点a,e在直线y2x上，且ab2，所以ea2ab.1a2b2a2e2ae3，故C正确.4aa因为eab，所以，beax11x1设hx0x，hx0，hx在0,为增函数.ex2ex2{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}11所以hxh，22ea1a211即，，故D错误.b2eb24e49答案CDab(x1,2x)ab(3x,0)ab(x1)24x2ab(3x)2又ababx2x20解得x1或-210．BD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】x,y,z在正方体ABCDA1B1C1D1中，以C为原点，CD,CB,CC1分别为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C0,0,0,D4,0,0,A14,4,4,B10,4,4,C10,0,4，D14,0,4,Mx,4,0,N0,4,z，其中x,z0,4，D1Mx4,4,4，MNx,0,z，而1DMMN，则DMMNxx44z0zx4x，114对于选项B，因为A1Mx4,0,4，则A1MMNxx44z0，所以A1MMN，又D1MMN，A1MD1MM，A1M,D1M平面A1D1M，{#{QQABZYKUogAoAABAARhCQQHoCkGQkAGCCKoORFAMIAABQQNABAA=}#}所以MN平面A1D1M，故B正确；对于选项C，因为NC0,4,z，且MNx,0,z，则MNNCz2，且z0，所以MNNC0，故C错误；211x4x对于选项D，因为DN4,4,z，且zx4x1，442当且仅当x4x时，即x2时，zmax1，则DN1616z233，所以线段DN长度的最大值为33，故D正确；故选：BD11.ACD解析：对于A.11a1b2a1b2A（.a1b2)()1122.4a1b2b2a1b2a11142a1b263a1b2当且仅当时，成立A正确b2a1对于1B.yx22x2212x22.