乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题(8小题每题5分共40分)1.已知复数z满足zi1i,则在复平面内,复数z所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A1,2,4,B1,x,若BA,则xA.1B.2C.2或4D.1或2或43.某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )A.9B.18C.27D.3654.若函数f(x)是周期为2的偶函数,当0x1时f(x)2x(1x),则f()=( )21111A.B.C.D.224422y5.已知椭圆C1:与双曲线C2:x1有公共的焦点,4C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,C1恰好将线段AB三等分,则A.B.C.D.6.若函数在区间(0,)上单调递减,则实数的取值范围是A.[2,)B.[1,)C.(,2]D.(,1]35π7.若sin,3π,则tancos()52221010310310A.3B.3C.3D.310101010nS8.已知等比数列an的前项和为n,则下列判断一定正确的是()A.若S30,则a20220B.若S30,则a2022011C.若a2a1,则a2023a2022D.若,则a2023a2022a2a1二、多选题(共4小题每题五分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)9.如图1,在ABC中,ACB90,AC23,CB2,DE是ABC的中位线,沿DE将VADE进行翻折,连接AB,AC得到四棱锥ABCED(如图2),点F为AB的中点,在翻折过程中下列结论正确的是()A.当点A与点C重合时,三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积3为33π23B.四棱锥ABCED的体积的最大值为23C.若三角形ACE为正三角形,则点F到平面ACD的距离为23D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为,则A、C两点间的距离4为2310.设抛物线y22pxp0的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到2,t时,PF4,直线l与抛物线相交于A,B两点,点M4,1,则下列结论正确的是()A.抛物线的方程为y24xB.PMPF的最小值为6C.若线段AB中点的纵坐标为4,则直线l的斜率为2D.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与y轴相切11.下列四个命题是真命题的是()A.若函数fx的定义域为2,2,则函数fx1的定义域为3,17B.函数yxx2的值域为,4C.若函数yx2mx4的两个零点都在区间为1,内,则实数m的取值范围为5,4x2ax5,x1D.已知fxa在,上是增函数,则实数a的取值范,x1x围是3,2112.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是1,42从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是()1A.2个球都是红球的概率为B.2个球中恰有一个红球的概率为18237C.至少有1个红球的概率为D.2个球不都是红球的概率为88三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)r13.已知向量b为单位向量,向量a1,1,且a2b6,则向量a、b的夹角为.14.已知正四棱台的上底边长为4,下底边长为8,侧棱长为17,则其体积为.2215.已知圆xy8内有一点P1,2,AB为过点P且倾斜角为135的弦,则AB.k16.集合Axxsin,kZ的子集的个数是.3四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效。)17.如图,在△ABC中,ABAC,ABAC4,点E,F是线段BC(含端点)上的动点,且点F在点E的右下方,在运动的过程中,始终保持EAF4不变,设EAB.(1)写出的取值范围,并分别求线段AE,AF关于的函数关系式;(2)求△EAF面积S的最小值.*18.已知数列an的前n项和Sn,对于nN,都满足Sn1SnSn1Sn0(n2),且a11.(1)求Sn;Sn(2)若b,求数列bn的前n项和Tn.nn219.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50,50,60…90,100后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,补全频率分布直方图,并估计该校学生的数学成绩的中位数.(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.(3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X(以该校学生的成绩的频率估计概率),求X的分布列和数学期望.20.如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,底面为矩形,平面AA1D1D⊥平面1C1CDD1,且CCCDDDCD2.11211(1)证明:A1D1面CC1D1Dπ(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为,求锐二面角CAA1D的余弦值.322xy121.已知椭圆C:1的上顶点到右顶点的距离为7,离心率为,过a2b22椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为:x2a,过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点O为坐标原点,求OEN面积的最大值.22.函数fxexxa,aR.(1)求函数yfx的单调区间及极值;(2)若x1,x2是函数yfx的两个不同零点,求证:①x1x20;②x1x221a.月考答案解析:1.B【分析】根据等式化简出z,即可得到z,则可选出答案.【详解】因为zi1i.1i所以z1i.i所以z1i,其在复平面对应的点为(1,1)在第二象限.故选:B.2.C【详解】试题分析:∵集合A1,2,4,B1,x,BA,∴x2或x4才能满足集合的互异性.故选C.考点:集合中子集的概念与集合中元素的互异性.3.B【详解】试题分析:根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出老年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率乘以老年职工的个数,得到结果.设老年职工有x人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,则中年职工有2x,∵x+2x+160=430,∴x=90,即由比例可得该单位老年职工共有90人,∵在抽取的321样本中有青年职工32人,∴每个个体被抽到的概率是16051用分层抽样的比例应抽取×90=18人.故选B.5考点:分层抽样点评:本题是一个分层抽样问题,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分学科网(北京)股份有限公司点,不容错过4.B5【分析】根据函数周期性与奇偶性,将转化到0,1范围内,再代入解析式即2可.【详解】因为函数fx是周期为2的偶函数,且当0x1时,fx2x1x,5511111则f(f)(f2)(f)21,2222222故选:B.5.C【详解】由题意,C2的焦点为(0,5),一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易22AB为圆的直径且AB=2a,∴C1的半焦距c5,于是得a-b=5①.222ab设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:xb24a2②,2a由对称性知直线y=2x被C截得的弦长=25x由题得:25x,13a所以x③,由②③得a2=11b2④,由①④得a2=5.5,b2=0.5.故选C356.C【详解】试题分析:由题意,知f(x)ex(sinxcosxa)0在区间(0,)上恒成立,5即a2sin(x)在区间(0,)上恒成立.因为x(,),所以44442sin(x)(,1],所以2sin(x)[2,1),所以a2,故选C.424考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、两角和的正弦公式;3、正弦函数的图象与性质.7.B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可35π【详解】因为sin,3π,524所以cos1sin2,55π3π因为,422所以sin0,cos0,221cos310所以sin,22101cos10cos,2210sin所以tan23,2cos210则tancos3,2210故选:B.8.D【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证,利用等比数列的性质即可求解.n1S0【详解】对于A,等比数列a11,a22,a34,,an2,满足3,但是a20220,故A错误;n3n1S0对于B,等比数列a14,a22,a31,,an1,满足3,但是2a20220,故B错误,学科网(北京)股份有限公司n3n1aa对于C,等比数列a14,a22,a31,,an1,满足21,但是2a20230a2022,故C错误,11111对于D,若a10,由10q1,所以等比数列an为递a2a1a1qa1q减数列,故a2023a2022正确;11111若a10,由1q0或q1,当q1时,等比数列an为递a2a1a1qa1q减数列,故a2023a2022正确;当q0时,偶数项为正,奇数项为负,故a2023a2022正确;故D正确.故选:D.9.AB【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行,结合等面积法得DGh1DFFG即可求解C,由线线角的几何法求解,结合余弦定理即可判断D.【详解】由题意,在ABC中,ACB90,AC23,CB2,DE是ABC的中位线,BC311∴tanA,DEBC1,AECEAC3,AC23AC32211∴A30,ADBDAB2BC2,22对于A项,当点A与点C重合时,三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为EC3,高为DE1的半个圆锥,∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为:221211213SπrlπrACDEπ313π323133π22222,故A正确;对于B项,设AEC,则0,π,设点A到CE的距离为h,则hAEsin3sin,∴四棱锥ABCED的体积为:11BCDECE11233VShh3sinsin,ABCDE3BCDE3232233在ysin中,y0,1,∴VABCDEsin0,,223∴四棱锥ABCED的体积的最大值为,故B正确;2对于C,D项,当三角形ACE为正三角形时,AEC60,ACAECE3,取AC中点为G,BC的中点H,连接FH,EH,EG连接DG,在△ABD中,ADBD,点F为AB的中点,1由于F,G分别是A
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