乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题(8小题每题5分共40分)1.已知复数z满足,则在复平面内,复数所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合,,若,则A. B. C.或 D.或或3.某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )A.9 B.18 C.27 D.364.若函数是周期为的偶函数,当时,则=( )A. B. C. D.5.已知椭圆C1:与双曲线C2:有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,C1恰好将线段AB三等分,则A. B. C. D.6.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是A. B. C. D.7.若,,则( )A. B. C. D.8.已知等比数列的前项和为,则下列判断一定正确的是( )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则二、多选题(共4小题每题五分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)9.如图1,在中,,,,DE是的中位线,沿DE将进行翻折,连接AB,AC得到四棱锥(如图2),点F为AB的中点,在翻折过程中下列结论正确的是( )A.当点A与点C重合时,三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B.四棱锥的体积的最大值为C.若三角形ACE为正三角形,则点F到平面ACD的距离为D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为,则A、C两点间的距离为210.设抛物线的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到时,,直线l与抛物线相交于A,B两点,点,则下列结论正确的是( )A.抛物线的方程为B.的最小值为6C.若线段AB中点的纵坐标为4,则直线l的斜率为2D.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与y轴相切11.下列四个命题是真命题的是( )A.若函数的定义域为,则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数的两个零点都在区间为内,则实数的取值范围为D.已知在上是增函数,则实数的取值范围是12.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有一个红球的概率为C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13.已知向量为单位向量,向量,且,则向量、的夹角为.14.已知正四棱台的上底边长为4,下底边长为8,侧棱长为,则其体积为.15.已知圆内有一点,AB为过点P且倾斜角为的弦,则.16.集合的子集的个数是.四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效。)17.如图,在△中,,,点,是线段(含端点)上的动点,且点在点的右下方,在运动的过程中,始终保持不变,设.(1)写出的取值范围,并分别求线段,关于的函数关系式;(2)求△面积的最小值.18.已知数列的前项和,对于,都满足,且.(1)求;(2)若,求数列的前项和.19.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段,…后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,补全频率分布直方图,并估计该校学生的数学成绩的中位数.(2)从被抽取的数学成绩是分以上(包括分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.(3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括分)的人数为(以该校学生的成绩的频率估计概率),求的分布列和数学期望.20.如图,在四棱台中,底面为矩形,平面⊥平面,且.(1)证明:面(2)若与平面所成角为,求锐二面角的余弦值.21.已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为,离心率为,过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为:,过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点O为坐标原点,求面积的最大值.22.函数,.(1)求函数的单调区间及极值;(2)若是函数的两个不同零点,求证:①;②.月考答案解析:1.B【分析】根据等式化简出,即可得到,则可选出答案.【详解】因为.所以.所以,其在复平面对应的点为在第二象限.故选:B.2.C【详解】试题分析:∵集合,,,∴或才能满足集合的互异性.故选C.考点:集合中子集的概念与集合中元素的互异性.3.B【详解】试题分析:根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出老年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率乘以老年职工的个数,得到结果.设老年职工有x人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,则中年职工有2x,∵x+2x+160=430,∴x=90,即由比例可得该单位老年职工共有90人,∵在抽取的样本中有青年职工32人,∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人.故选B.考点:分层抽样点评:本题是一个分层抽样问题,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过4.B【分析】根据函数周期性与奇偶性,将转化到范围内,再代入解析式即可.【详解】因为函数是周期为的偶函数,且当时,,则,故选:B.5.C【详解】由题意,C2的焦点为,一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a,∴C1的半焦距,于是得a2-b2=5①.设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:②,由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=由题得:,所以③,由②③得a2=11b2④,由①④得a2=5.5,b2=0.5.故选C6.C【详解】试题分析:由题意,知在区间上恒成立,即在区间上恒成立.因为,所以,所以,所以,故选C.考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、两角和的正弦公式;3、正弦函数的图象与性质.7.B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可【详解】因为,,所以,因为,所以,,所以,,所以,则,故选:B.8.D【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证,利用等比数列的性质即可求解.【详解】对于A,等比数列满足,但是,故A错误;对于B,等比数列满足,但是,故B错误,对于C,等比数列满足,但是,故C错误,对于D,若,由,所以等比数列为递减数列,故正确;若,由或,当时,等比数列为递减数列,故正确;当时,偶数项为正,奇数项为负,故正确;故D正确.故选:D.9.AB【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行,结合等面积法得即可求解C,由线线角的几何法求解,结合余弦定理即可判断D.【详解】由题意,在中,,,,DE是的中位线,∴,,,∴,,对于A项,当点A与点C重合时,三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为,高为的半个圆锥,∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为:,故A正确;对于B项,设,则,设点到的距离为,则,∴四棱锥的体积为:,在中,,∴,∴四棱锥的体积的最大值为,故B正确;对于C,D项,当三角形ACE为正三角形时,,,取中点为,的中点,连接,,连接,在中,,点F为AB的中点,由于分别是的中点,所以,,,因此四边形为平行四边形,故由于平面,所以平面,平面,所以,因此四边形为矩形,则由于,所以平面,平面,所以,在中,,∴,为的中点,在中,为的中点,点F为AB的中点,,∴,而平面,即有平面,又平面,因此平面平面,而平面平面,所以点F到平面ACD的距离等于点F到直线DG的距离,则,,在中,在矩形中,,,,设点F到平面ACD的距离为,在中,,即,解得:,故C错误,对于D,由于,所以四边形为平行四边形,故,又,此时即为异面直线AC与BD所成的角或补角,由于,,,由余弦定理,解得,则A,C两点间的距离为,故D错误;故选:AB.10.BD【分析】对于A,利用抛物线的定义结合题意可求出的值,从而可得抛物线方程,对于B,过P作PE垂直于准线于E,结合图形利用抛物线的定义求解,对于C,利用点差法求解,对于D,利用抛物线的定义求解【详解】,故,,故,A错误;过P作PE垂直于准线于E,则,当P,E,M三点共线时等号成立,故B正确;设,,若AB中点的纵坐标为4,则,则,,相减得到,所以直线l的斜率,故C错误;如图所示:G为AF中点,故,故AF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选:BD.11.ACD【分析】选项A根据抽象函数的定义域可得;选项B运用换元法可求函数的值域;选项C根据二次函数区间根问题求参数可得;选项D根据分段函数在上增函数可得.【详解】选项A:函数的定义域为,则函数的中,得,故A正确;选项B:设,得,则,对称轴为,故函数在上单调递增,故,故B错误;选项C:若函数的两个零点都在区间为内,则,得,故C正确;选项D:若在上是增函数,则,得,故D正确.故选:ACD12.ABD【分析】A选项直接乘法公式计算;B选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况;C、D选项先计算对立事件概率.【详解】对于A,,正确;对于B,,正确;对于C,,错误;对于D,,正确.故选:ABD.13.【解析】对两边平方解出,代入数量积的定义式解出夹角.【详解】向量为单位向量,向量,,,,,即,解得.设向量、的夹角为,则,,因此,.故答案为:.14.112【分析】根据已知条件,分别计算出上、下底面面积以及棱台的高,代入棱台体积公式进行计算即可得解.【详解】因为正四棱台的上底边长为4,下底边长为8,侧棱长为,所以棱台的下底面积,上底面积,高,所以正四棱台的体积.故答案为:112.15.【分析】求出直线的方程后,利用点到直线的距离求出弦心距,再根据勾股定理可得结果.【详解】依题意可得直线的斜率为,所以直线的方程为:,即,由圆心到直线的距离可得弦心距,所以.故答案为:16.8【分析】根据正弦函数分别给k在一个周期内的值,并求出对应的x值,即求出集合A,再由集合A中元素的个数求出它的子集的个数.【详解】由题意的周期为6,,令k分别为0、1、2、3、4、5、6,∴x=sin的值对应为:0、,,0,,,0,根据正弦函数的周期性知,A={,0,},故它的子集的个数是23=8个,故答案为:8.17.(1),,;(2).【分析】(1)由题设可得,在△、△中应用正弦定理即可求得线段,关于的函数关系式;(2)由(1)及倍角正余弦公式、辅助角公式可得,结合的范围及正弦型函数的值域求最小值.【详解】(1)由题设,,在△中,而,所以,同理,,则.(2)由(1)知:,所以,则,当时,△面积的最小值为.18.(1)(2)【分析】(1)先证明数列是首项为1,公差为1的等差数列,再求出即可;(2)裂项相消求和可解.【详解】(1)时,,,又,数列是首项为1,公差为1的等差数列.,经验证,时也成立,.(2),.19.(1)分.(2).(3)见解析.【详解】试题分析:⑴通过各组的频率和等于,求出第四组的频率,考查直方图,求出中位数即可;分别求出,,的人数是,,,然后利用古典概型概率求解即可;⑶判断概率类型,即可写出的分布列和数学期望解析:(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:.直方图如图所示.中位数是,估计这次考试的中位数是分.(2),,的人数是,,,所以从成绩是分以上(包括分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率:.(3)因为,,,所以其分布列为:012340.24010.41160.26460.07560.0081数学期望为.20.(1)证明见解析;(2).【详解】(1)
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