四川省遂宁市2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题

秘密★启用前遂宁市高2021级第一次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．复数，则（）A．1B．C．2D．43．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（）A．B．C．D．4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中帢有两个白球的概率为（）A．B．C．D．5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（）A．2B．C．D．6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（）A．B．C．D．57．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（）A．B．C．D．9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A．420B．460C．480D．52010．若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足则的最大值为________．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．16．若点为的重心，，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．18．（12分）已知数列与正项等比数列满足，且________．（1）求与的通项公式；（2）设，求数列的前项和．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．（1）求；（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．（1）求证：；（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（其中为实数）．（1）若，证明：；（2）探究在上的极值点个数．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线为参数，，曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为，正数满足，证明：．