广东省深圳实验，湛江一中，珠海一中2023-2024学年高三12月联考数学答案

深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DCABDACC二、多选题（每小题5分，共20分）题号9101112答案BCADACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.214.3615.116.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18―22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）解：(1)∵，∴当时，，………………………………2分两式相减得，即()，………………………………………3分当时，，符合上式，………………………………………………………………4分∴的通项公式为()．…………………………………………………5分(2)∵，………………………………………7分∴，…………………………………………………9分∴．…………………………………………………………………10分18．（12分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得，又∵，∴，………………………………………………1分∴，………………………………………………………………………………2分∵，……………………………………………3分∴，…………………………………4分∴，……………………………………………………………………………5分又∵，，∴．……………………………………………………………6分（方法二）由正弦定理，得，………………………………………1分∴，……………………………………………………………2分∵，，为△的内角，∴，∴，………………………………………3分∴，………………………………………………………4分即，………………………………………………………………………5分又∵，，∴．……………………………………………………………6分（方法一）由(1)可知，……………………………………………………7分∵，∴，即，………………………………………………8分∴，…………………………………………9分∵，∴，，………………………………10分记△的面积为，∴，………………………………………………11分∴．……………………………………………………………………………………12分（方法二）由正弦定理，得，即，……………………7分∵，∴，且，∴，……………………………8分又∵，∴，∴，∴，∴，……………………………………9分∴，…………………………………10分记△的面积为，∴，………………………………………………11分∴．……………………………………………………………………………………12分19．（12分）解：(1)证明：如图，取的中点，连接，，……………………………1分∵，∴，………………………………………………………………2分∵△为等边三角形，∴，…………………………3分又∵，平面，∴平面，……………………………………4分又∵平面，∴.…………………………………………………………………5分(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，∴为直线与平面所成的角，即，……………6分不妨设，∵，为的中点，∴，∵△为等边三角形，∴，在△中，由正弦定理,得，∴，∴，即，由(1)知，，且，…………………………………………………………7分以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，则有，，………………………………………………………8分易知为平面的一个法向量，………………………………………………9分设为平面的一个法向量，则即∴则平面的一个法向量为，…10分，…………11分由图可知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为.……………12分（解法二）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，∴为直线与平面所成的角，即，……………6分不放设，∵，为的中点，∴，∵△为等边三角形，∴，在△中，由正弦定理得，∴，∴，即.结合(1)可知，二面角为直二面角，…………………………………………7分∴平面，又平面，∴,又，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角.………………………………8分∵，，∴，，，……………………9分取的中点，连接，则，，∴，…………………………………………………………………10分∴，…………………………………………………………………11分∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为.……………12分20．（12分）解：(1)记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件，由题可知，…………………………………………………2分，……………………………………………………4分∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为.…………6分(2)设主办方在决赛前两场中共投资（千万元），其中，若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元），记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，，…………………………7分∴，，………………9分∴随机变量的分布列为∴的数学期望，………………………10分令，则，…………………………11分∴当，即时，取得最大值，∴主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元.……………………12分21．（12分）解：(1)，……………………………………………………1分若，由，则时，，单调递增；时，，单调递减；…………………………………………………………………2分时，令，得或，若，则或时，，单调递增；时，，单调递减；……………………………………………3分若，则在上恒成立，在上单调递增；……………………4分若，则或时，，单调递增；时，，单调递减．……………………………………………5分综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.…………………………………………………6分(2)由(1)知，时，在，上单调递增；在上单调递减，则的极小值点为，…………………………………………………7分由极大值，且当时，，存在唯一的零点，满足，…………………………8分化简得，，∴，即，∴，………………………………………………9分设，，，…………………………………………………………………10分当时，，单调递增，时，，单调递减，…………………………………………………11分从而当时，有最小值，综上所述，存在唯一的零点，且．…………………………………12分22．（12分）解：(1)由题意得，………………………………………1分易知，………………………………………………………………2分由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，又不能在直线上，∴的方程为：．…………………………3分(2)(=1\*romani)（法一）设，，，易知直线的方程为，联立，得，∴，………………4分∴，，即，…………5分同理可得，，…………………………………………………………6分∴，……………………………………………………………7分欲使，则，即，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．…………………………8分（法二）设，，，易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，故，同理有，…………………………………………………………………4分则，可得，…………………………………………5分易知，，且，，∴，即，……………………………………………………………6分同理可得，，…………………………………………………………………7分欲使，则，∴，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．…………………………8分(=2\*romanii)由(=1\*romani)易知，且，∴，即，同理可得，，…………………………………9分∵，∴，记，∴，当且仅当，即时取等，………………………………………………………10分由椭圆的对称性，不妨设此时，，且直线和的夹角为，则，不难求得，…………………………………………11分此时，易知，且，∴四边形的面积为．……………12分