数学-江苏省常州市联盟学校2024届高三上学期12月学情调研

常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2023.12出卷老师审卷老师考试时间120分钟本试卷共22大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，集合，则（）A. B. C. D.R2.已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A. B. C. D.3.已知，，若，则=（）A20 B.15 C.10 D.54.如图所示，为射线，的夹角，，点在射线上，则（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）A. B.C. D.6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（）A. B.0 C. D.7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9 B.8 C.7 D.68.设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为7B若，则．C.在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和410.已知函数的部分图象如图所示．则（）A.的图象关于中心对称B.区间上单调递增C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象11.已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（）A.直线的方程为 B.线段的长为C.直线过定点 D.的最小值是．12.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（）A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线B.从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为D.若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.展开式中项的系数为________．14.则为_________．15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.16.在数列求和中，裂项相消法是很常用的方法．例如在计算的过程中，可以选择将通项作如下处理：，从而求出，类比上述方法，计算______________，并由此结果推导出自然数的平方和公式___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和公式.18.在中，，且（1）求角；（2）若点为边上一点，且，求的面积.19.如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，E，F分别是棱上的点，平面平面，M是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆方程（2）点A为椭圆的上顶点，过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线AP，AQ分别交x轴于点M，N，若，求直线l的方程21.设函数（1）若函数与的图象存在公切线，求a的取值范围（2）若函数有两个零点，求证：.22.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．（1）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜概率．（2）若规定两人起始分都为2分，记（）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则①求证（）为等比数列②求值．常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2023.12出卷老师审卷老师考试时间120分钟本试卷共22大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，集合，则（）A. B. C. D.R【答案】B【解析】【分析】求得集合，，根据集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合交集的运算，可得.故选：B.2.已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得到，利用复数的除法求出即可.【详解】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，则，所以.故选：A.3.已知，，若，则=（）A20 B.15 C.10 D.5【答案】C【解析】【分析】根据向量平行，求出的值，再结合向量的坐标运算求模.【详解】因为，所以：.所以：所以：.故选：C4.如图所示，为射线，的夹角，，点在射线上，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】射线所对的角为，由三角函数的定义可得，且，于是有，再根据两角差的正、余弦公式可求得，，进而可得，代入求解即可.【详解】解：设射线所对的角为，则有，，又因为，所以，，，所以，所以.故选：A.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，由幂函数的性质知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，又，所以函数在上单调递减，故C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.故选：C.6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】设，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；联立即可求得.【详解】如下图所示：不妨设，根据椭圆定义可得，；由余弦定理可知；又因为，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故选：C7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式.【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，令，解得，两边取常用对数得，即即，因为，，所以，解得，因为，所以的最小值为9．故选：A8.设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可.【详解】函数定义域为，，又函数存在两个极值点，所以方程在上有两个不相等的正实数根，则，解得，又设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增加，因为不等式恒成立，即恒成立，所以.故选：D.二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为7B.若，则．C.在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4【答案】BD【解析】【分析】利用方差的概念，条件概率公式，线性回归分析等知识分别对每个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确；对于选项B：若，则，故B正确；对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确.故选：BD.10.已知函数的部分图象如图所示．则（）A.的图象关于中心对称B.在区间上单调递增C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.将函数图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】由题意首先求出函数表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.【详解】由图象可知，，解得，又，所以，即，结合，可知，所以函数的表达式为，对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11.已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（）A.直线的方程为 B.线段的长为C.直线过定点 D.的最小值是．【答案】BCD【解析】【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D.【详解】由题知，联立，两式相减得，即直线的方程为，A错；联立，解得或，所以，B正确；对于C，设，因为，为圆的切点，所以直线方程，直线的方程为，又设，所以，故直线的方程为，又因为，所以，由得，即直线过定点，C正确；因为，所以当最小时，最小，且最小为，所以此时，D正确.故选：BCD12.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（）A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线B.从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为D.若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则【答案】AB【解析】【分析】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.【详解】画出树状图，结合图形则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确；从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10