湘豫名校联考2023-2024学年12月高三一轮复习诊断考试（三）数学答案

湘豫名校联考#$#%年!#月高三一轮复习诊断考试!三数学参考答案题号!#%&'()*!$!!!#答案+,,+-.-+.+-,.-.+,.一#选择题$本题共小题%每小题'分%共&$分/在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题目要求的/!!+!&命题意图'本题考查集合的并集#补集运算$解方程$考查数学运算的核心素养!&解析'由题易得0!1#&#又#0!!$#所以###0!1#$!&#!所以$#0#!故选+!#!,!&命题意图'本题考查复数的除法运算#复数相等$考查数学运算的核心素养!&解析'设$0%2&3$%&%!%则$0%1&3!因为!2$0#$2%3所以!2%1&30#%2$#&2%%3!易得%2!0#%%0!###$!23%解得所以$0!13!所以000!23!故选,!%1&0#&2%%&01!$!13$!13%$!23%%!,!&命题意图'本题考查线面位置关系$充分#必要条件$考查逻辑推理#直观想象的核心素养!&解析'若!&%&!&'则%'&!反之若%'&%&!&'则!&或!(!所以!&是%'&的充分不必要条件!故选,!&!+!&命题意图'本题考查椭圆的方程及相关概念#直线的方程$考查了数学运算#直观想象的核心素养!&#!)*&解析'因为!1#0'0所以槡%%0#&!由题意知直线(的方程为20!即&)2%*1%&0$所以槡%#%&槡%)2#*1槡%%0$!因为直线(经过点$&1槡%%所以槡%4&2#4$1槡%%1槡%%0$解得%0#!所以槡%4#0#&!所以&0槡%所以椭圆+的短轴长为#&0#槡%!故选+!'!-!&命题意图'本题考查向量的模#数量积运算$考查数学运算的核心素养!&解析'因为)#!2)0槡%#2�'等式两边平方得&)!)#2))#2&)!)&))567'!(0#'又)!)0))0'%所以&4*2*2&4%4%567'!(0#'解得567'!(01!故选-!*(!.!&命题意图'本题考查旋转几何体#圆柱的体积$考查直观想象#数学运算的核心素养!&解析'如图过点,作+-的垂线交+-于点.将直角*,+.剪去并补到点/处使,+与/-重合则组成边长分别为#槡%的矩形!旋转所得几何体为圆柱其底面圆的半径为槡%高为#所以该几何体的体积为!4$槡%%#4#0(!!故选./)!-!&命题意图'本题考查函数的求值#周期性$考查数学运算#数学建模的核心素养!!)!!)!!!!'!!&解析'0001#001#001#0401!因为0$)%为奇函数所以!%#!%##!%#%!%!%!!!)!%0101001%所以004$1%%01!故选-!!%!%!%!+!&命题意图'本题考查恒成立问题#等差数列的通项公式及性质$考查数学抽象#数学运算的核心素养!数学参考答案!第!页!共页{#{QQABbQSUggAgAhBAARgCQQEICEOQkAGCCAoOxEAAsAAAARFABAA=}#}书,%1%!12%!0#%!1%#12%!0#&&解析'因为%!8%#8%%0&8%8#所以%#0%!%%0%!!因为所以化简&#%+1%%12%#0#!%1%!12%!0#-#&##!#得102且12不为$!所以%31%31!0所以数列!%3#是等差数列!因为%%0%&101所以%!011#1&!!&#!&#%%0!1!因为%&0所以0!12%4解得101&即公差401!所以%!0!10#!所1##11#1&!%%*以%0%!2)40#2)4101所以%(2%2%!$0%%0%4101!故选+!!##!##二#选择题$本题共&小题%每小题'分%共#$分!在每小题给出的四个选项中%有多项符合题目要求!全部选对的得'分%部分选对的得#分%有选错的得$分!*!.+-!&命题意图'本题考查三角函数的定义$正#余弦的和角公式$正切的倍角公式$考查数学运算的核心素养!##槡%槡!'槡#槡!$&解析'由题易知50槡$槡#%2$槡%%0槡'所以739!00,错误)因为567!00所以槡''槡''!!!槡!$!槡!'槡%槡!$1%槡'槡%567!!20567!5671739!73904140.正确)因为:;9!00%%%'#'#!$槡#(#4槡槡(#所以:;9#!001#(所以1#(2(%0$解得%0#+正确)因为!属于第一象限角所以##槡槡槡!1槡(!#!#6!.!.2#6!6%所以&6!.#!.!2&6!6%且:;9#!01#(.$即#!属于第二象限角-正确/#槡故选.+-/!$!,.-!&命题意图'本题考查双曲线的方程及性质#直线与双曲线的位置关系$考查直观想象#数学运算的核心素养!&&#&解析'由题易得0#所以'0!20槡!2##0槡',错误)根据三角形的相似性知顶点到渐近%槡!%%%!槡'线的距离与焦点到渐近线的距离之比为00.错误)因为直线*0#)2!与渐近线*0#)平77''行所以直线*0#)2!与双曲线+的左支仅有!个交点与右支没有交点!又直线*0)2!与直线*0#)2!都过点$$!%且直线*0)2!的倾斜角比直线*0#)2!的倾斜角小结合图形可知直线*0)2!7#%&#与双曲线+有两个不同的交点+正确)因为10'1%0#/!所以点$7%&%位于双曲线+右支的右%#&#槡侧位置显然过点$7槡%&%的直线不可能与双曲线+相切-错误/故选,.-/!!!.+!&命题意图'本题考查新概念#数学文化#函数的性质$考查逻辑推理#数学运算#数学抽象的核心素养!(%!011&解析'8080,错误!因为12%#是既约真分数)0$!或$$!%上的无理数!!&&2201!!所以黎曼函数的定义域为*$!+.正确!又12%#为既约真分数所以的最大值为+正确!因22#为0$!1)%00$)%所以0$1)%00$)2!%!所以0$1)1!%00$)2#%!因为0$)%是奇函数所以0$1)1!%0(&10$)2!%010$1)%00$)%所以0$)%00$)2#%即0$)%是以#为周期的周期函数000!10!'!'数学参考答案!第!#页!共页{#{QQABbQSUggAgAhBAARgCQQEICEOQkAGCCAoOxEAAsAAAARFABAA=}#}&&!(01010010$%#2(%00$&#%00$
(%010$(1&#%0$所以02!'!''槡槡槡槡!'!0$%#2(%01-错误/故选.+/槡'!#!,.!&命题意图'本题考查立体几何中的线面位置关系#二面角#轨迹问题#球体$考查直观想象#逻辑推理#数学运算的核心素养!&解析'设*/,+的外心为点9则9/09,09+所以<:*:9/1<:*:9,1<:*:9+所以:/0:,0:+,正确)过点/作,+的垂线/;交,+于点;连接:;则:;',+所以2/;:是平面:,+与平面!/;&,+/;#:*/,+/,+所成角的平面角则5672/;:000.正确)因为2,/+0*$=<是,+的中:;!:*:,+:;&,+#,+点所以<+0<,0$=%01#=2==%*1!!+所以>?$=%01(=2!!令>?$=%0$则=0或=01!因为在(((((((1!1槡上>?$=%.$在1槡槡上>?$=%/$在槡!上>?$=%.$所以>$=%在1!1槡上单!(!((!(!(((((调递减在1槡槡上单调递增在槡!上单调递减所以>$=%的极小值为>1槡01#4!((!(!(%(槡(槡(槡(槡(槡(1槡10101即0$)%的极小值为1!!((!(**四#解答题$本题共(小题%共)$分!解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤!!)!&命题意图'本题考查解三角形$考查数学运算#数学建模的核心素养!数学参考答案!第!%页!共页{#{QQABbQSUggAgAhBAARgCQQEICEOQkAGCCAoOxEAAsAAAARFABAA=}#}))#%&解析'$!%设+.0)则,.000槡)7392.,+739($=%)1/--.00#$)1!$$%!…………………………………………………………………………………#分739%$=因为2-,.02,-.所以-.0,.!#%所以槡)0#$)1!$$%%解得)0!'$2'$槡%即+.0!'$2'$槡%!…………………………………………………………………'分+.+.$#%由$!%设+.0)因为/-02/,-0&'=所以/-0/,0!##))%)%因为,+000槡)/+00槡)……………………………………………分:;92.,+:;9($=%#:;9%$=#所以由余弦定理得%!!)#2)#1)#/+#2,+#1/,#&%&'5672/+,000!……………………………………………!$分#/+&,+%%(#4槡)4槡)#%!!&命题意图'本题考查空间几何体的线面位置关系#平面与平面的夹角问题$考查直观想象#逻辑推理#数学运算的核心素养!&解析'$!%取/,的中点9连接+?99.!因为+?-?&/,#+?-?0,/所以+?-?09/所以四边形/9+?-?是平行四边形!所以+?9&-?/!因为/-?'/9所以+?9'/9即+?9'/,!………………………………………………………%分因为*/,.是等边三角形所以9.'/,!因为+?9(9.09所以/,'平面+?9.!所以/,'+?.!………………………………………………………………………………………………(分$#%以点9为原点建立如图所示的空间直角坐标系91)*$不妨设+?-?0!则/-?09,09/0!9.0槡%!所以/$1!$$%,$!$$%+?$$$!%-?$1!$!%.$$槡%$%!所以,5+4?0$1!$!%,54.0$1!槡%$%/5-4?0$$$!%/54.0$!槡%$%!设平面,+?.的法向量为#0$)!*!$!%54#&,+?0$,1)!2$!0$则即+&54%#,.0$-1)!2槡%*!0$!令)!0槡%则$!0槡%*!0!所以平面,+?.的一个法向量为#0$槡%!槡%%!…………………………………………………………分设平面/-?.的法向量为$0$)#*#$#%&54$/.0$,)#2槡%*#0$则即+&54%$/-?0$-$#0$!数学参考答案!第!&页!共页{#{QQABbQSUggAgAhBAARgCQQEICEOQkAGCCAoOxEAAsAAAARFABAA=}#}令*#01!则)#0槡%$#0$所以平面/-?.的一个法向量为$0$槡%1!$%!………………………………………………………!$分设平面,+?.与平面/-?.的夹角为%则)#&$))槡%4槡%2!4$1!%