数学-湖北省武昌实验中学2023-2024学年高三上学期12月月考

湖北省武昌实验中学高三年级12月月考数学试卷命题教师：考试时间：2023年12月12日下午15:00—17:00一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合UR，Ayyx,x1，Bxyln(2x)，则（）A.[2,)B.[1,)C.[1,2)D.[1,2]z2．已知复数z与z42i在复平面内对应的点关于实轴对称，则1＝（）11iA．13iB．13iC．13iD．13ix2y213．已知椭圆C:1(0a4)的离心率为，则a（）a21628A．2B．22C．23D．334．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35，则原圆锥的母线长为（）A．2B．5C．4D．25y25．已知双曲线C：x21(b0)的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于b2A，B两点，若线段AB的中点为N(1,2)，则直线l的斜率为（）A．1B．1C．2D．26．ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（）2112A.B.C.D.3121237．设函数fx的定义域为R，f2x1为奇函数，fx2为偶函数，当x1,2时，xfxa2b．若f0f36，则flog296的值是（）A.12B.2C.2D.12．已知函数2的一个对称中心为π1，现将函数图象8fxcosx(0π),f(x)262上各点的横坐标变为原来的(0)倍(纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在0,π上单调递减，则可取值为（）11A．B.C．2D．332二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知事件A，B满足PA0.3，PB0.6，则（）A．若AB，则PAB0.18B．若A与B互斥，则PAB0.9C．若PAB0.1，则A与B相互独立D．若A与B相互独立，则PAB0.1210．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是（）A．M，N，A1，B四点共面B．A1MAB1C．过点A1，B，N的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形5D．过MN作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为211．设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a11，a2023a20241，a20231a202410，则下列选项正确的是（）A.q1B.S20231S2024C.T2023是数列Tn中的最大项D.T4047112．已知函数fx与gx的定义域均为R，fx,gx分别为fx,gx的导函数，fxgx5，f2xg2x5，若gx为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A．f25B．gx4gxC．g8xgxD．fx8fx三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．213．(x)6展开式中的常数项为．x222214．在平面直角坐标系xOy中，圆C1:xy2关于直线l对称的圆为C2:xy2x4y30，则l的方程为__________．15．已知曲线y＝lnx与y＝ax2（a＞0）有公共切线，则实数a的取值范围为_________．16．a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，ac4，sinA(1cosB)(2cosA)sinB，则ABC面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．xxxx17．已知向量asin,sin，bcos,sin（0），函数2222fx2ab.（1）当2时，求函数fx的单调递增区间；π（2）若x1,x2是函数fx的任意两个相异零点，且xx的最小值为，求函数fx在122π0,上的值域．218．如图，四棱锥PABCD中，△ABD是等边三角形，PAPBPD，BCCD.（1）证明：BDPC；（2）若BD23，CDAP7，求点A到平面PCD的距离．PADCB19．已知数列an中，a21，设Sn为an前n项和，2Snnan．（1）求an的通项公式；sin1b（2）若n，求数列bn的前n项和Tn．cosan1cosan1120．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i12345678910成绩xi（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x,s2．1010经计算，2，2．(xix)1690xi33050i1i1（1）求x；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩 不合格的人数为X，求X的分布列；2（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布N(,2)，用x,s的值分别作为,2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)．附：若～2，则≤≤，≤≤，N(,)P()0.6827P(22)0.9545P(3≤≤3)0.9973．21．已知函数f(x)ln(mx)x(m0)．（1）若f(x)0恒成立，求m的取值范围；（2）若f(x)有两个不同的零点x1,x2且x22x1，求实数m的取值范围.22．已知A,B是椭圆C上关于原点O对称的两点，且A3,1，M是椭圆C上异于A,B的1一点，直线MA和MB的斜率满足kk．MAMB3（1）求椭圆C的标准方程；（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l11与椭圆的两个交点分别为P、N，若的值为定值，则称此时的点Q为“稳定点”，PQQN问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．高三年级12月月考数学参考答案一．单选题1-8.ADCDBBBD二．多选题9.BD10.BCD11.BC12.ACD三．填空题113.【答案】-16014．【答案】2x4y5015．【答案】[,)16.【答案】2e3．四．解答题xx2x17.(1)由已知fx2sincossinsinx1cosx222πsinxcosx12sinx1.---------3分4ππππ当2时，fx2sin2x1，令2kπ2x2kπkZ，42423ππ解得：kπxkπkZ，883ππ∴函数fx的单调递增区间为kπ,kπkZ；---------5分88ππ2(2)由（1）知fx2sinx1，令fx0，得sinx，442π2π2所以，sinx1sinx2.4242πππ3ππ当xx最小时，不妨取x，x，即x0，x，则12144244122πxx.122πππ因为xx，则，故1.---------8分12min222πππ3ππ因为x0,，所以x,，fx2sinx10,21，44424π所以函数fx在0,上的值域为0,21---------10分218.【解析】（1）如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，由ADAB，CDBC，ACAC，可得△ABC≌△ACD，所以BACDAC，又AOAO，所以△AOB≌△AOD，所以BOOD，即O为BD中点，在等腰△PBD中，可得BDOP，在等腰△BCD中，BDOC，又OPOCO，所以BD平面POC，又PC平面POC，所以BDPC．（2）方法一：（对角线交点建系法）1由（1）可得，ACBD，又CD7，ODBD3，2所以COCD2OD22，AO3OD3，由于PABD为正三棱锥，点P在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为M，2根据正三棱锥的性质可得AMAO2，PMAP2AM23，3如图，以OA，OB所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．可得A(3,0,0)，C(2,0,0)，D(0,3,0)，，P(1,0,3)PC(3,0,3)，DC(2,3,0)（或DP(1,3,3)）又AC(5,0,0)，（或AD(3,3,0)，AP(2,0,3)）设平面PCD的法向量n(x,y,z)，可得nnPCPC003x3z03xz0，nnDCDC002x3y02x3y0不妨令x3，可得n(3,2,3)，|nAC|55所以d3，故点A到平面PCD的距离为3．|n|44方法二：（等体积转化法）设点A到平面PCD的距离为h，可得VPACDVAPCD，1由（1）可得，ACBD，又CD7，ODBD3，2所以COCD2OD22，AO3OD3，由于PABD为正三棱锥，点P在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为M，2根据正三棱锥的性质可得AMAO2，PMAP2AM23，31115VSPM(ACOD)PM，PACD3△ACD322作PC中点N，连接DN，由于PDCD，所以DNPC，PCPM2MC223，所以PN3，所以DNPD2PN22，1所以SPCDN23△PDC2155于是VSh，代入可得h3，APDC3△PDC245所以点A到平面PCD的距离为3．4aa1Sa2Sa2aa19.(1)数列n中，2，n为n前n项和，当n1时，1111，a01，2Sna当n2时，nn①，2Sn1an1n1②，由②-①得：2Sn12Snn1an1nan，2Sn1Snn1an1nan，即nann1an1，an1n当n2时，，---------3分ann1ann1a3a32递推可得：，…，，，4an1n2a32a21an1ana4a3nn132由累乘法可得：，anan1a3a2n1n221an1n，又因为a21，所以an1n，即ann1，a2a0经检验，当n1时，1符合上式，an1所以n；---------6分an1an(2)由（1）可知n，n1，所以：sin1sin1sinn1nbncosan1cosan11cosncosn1cosncosn1sinn1cosncosn1sinnsinn1cosncosn1sinncosncosn1cosncos