数学-辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测

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沈阳市第120中学2023-2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分:150分时间:120分钟命题人:马健于茂源校对人:高越一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)Axx28x150Bxax101.设集合,集合,若BA,则实数a取值集合的真子集的个数为()A.2B.3C.7D.82.已知复数z满足(12i)z32i,则z的虚部为()8811AB.C.D..5555n23.若的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则该项式的展开式中常数项为()x2xA.90B.-90C.180D.-1804.向量ab1,c3且abc0,则cosac,bc()131344A.B.C.D.1414555.在《九章算术商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.在方亭ABCDA1B1C1D1中,AB2A1B12,四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为33,则该方亭的体积为()7777A.B.C.2D.2262656.在数列an中,a11,且函数fxxan1sinx2an3x3的导函数有唯一零点,则a9的值为().A.1021B.1022C.1023D.10247.已知点P是圆M:(x2)2(y2)22上的动点,线段AB是圆C:(x1)2(y1)24的一条动弦,且|AB|23,则|PAPB|的最大值是()A.32B.82C.52D.822第1页/共4页学科网(北京)股份有限公司8.已知三棱锥PABC的底面ABC为等腰直角三角形,其顶点P到底面ABC的距离为3,体积为24,若该三棱锥的外接球O的半径为5,则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为()A.6πB.30πC.9221πD.6221π二、多选题(本题共4小题,共20分,每题选项全对给5分,少选或漏选给2分,错选、多选和不选给0分)9.下列命题正确的是()A.在回归分析中,相关指数r越小,说明回归效果越好B.已知P(23.841)0.05,若根据2×2列联表得到2的观测值为4.1,则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据xi,yi(i1,2,,n)得到的回归直线方程为y4x20,且1nxi10,则这组样本数据中一定有10,60ni1D.若随机变量XN~,4,则不论取何值,PX46为定值10.若函数fxsinxcosx的图象关于直线x对称,则()26A.32B.点,0是曲线yfx的一个对称中心3C.直线x也是一条对称轴3D.函数fx在区间,上单调312211.已知Sn是数列an的前n项和,且Sn1Snn,则下列选项中正确的是().A.anan12n1(n2)B.an2an2C.若a10,则S1004950第2页/共4页学科网(北京)股份有限公司11D.若数列an单调递增,则a1的取值范围是,4312.若正实数a,b满足ab,且lnalnb0,则下列不等式一定成立的是()11A.logb0B.ababaC.2ab12abD.ab1ba1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线l1:xay90与l2:a2x3y3a0平行,则l1,l2间的距离是______.sin21tan14.已知锐角,满足,则cos__________.cos211tan15.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,“莲莲”代表世界遗产西湖,“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物,其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个,将这6个吉祥物排成前后两排,每排3个,且每排相邻两个吉祥物名称不同,则排法种数共有__________.(用数字作答)116.在锐角ABC中,cosA,若点P为ABC的外心,且APxAByAC,则xy的最大值为4___________.四、解答题(本题共6小题,共70分)17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB2bcosAbc.(1)求tanA;(2)若a17,ABC的面积为22,求ABC的周长.18.已知点AB4,4,0,3,圆C的半径为1.(1)若圆C的圆心坐标为C3,2,过点A作圆C的切线,求此切线的方程;(2)若圆C的圆心C在直线l:yx1上,且圆C上存在点M,使MB2MO,O为坐标原点,求圆心C的横坐标a的取值范围.an319.已知数列an中,a11,Sn是数列an的前n项和,且.Snn2(1)求数列an的通项公式:12n(2)证明:3SSS12n.第3页/共4页学科网(北京)股份有限公司20.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,ABBC2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱AB11上的点.BFA1B1(1)证明:BFDE;(2)当BD1为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?21.在一次数学随堂小测验中,有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题,每道题四个选项中仅有一个正确,选择正确得5分,选择错误得0分;多项选择题,每道题四个选项中有两个或三个选项正确,全部选对得5分,部分选对得2分,有选择错误的得0分.(1)小明同学在这次测验中,如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确1答案和随机猜测的概率都是.问小明在做某道单项选择题时,在该道题做对的条件下,求他知道这道单项2选择题正确答案的概率;(2)小明同学在做某道多项选择题时,发现该题的四个选项他均无把握判断正误,于是他考虑了以下两种方案:方案①单选:在四个选项中,等可能地随机选择一个;方案②多选:在有可能是正确答案的所有选项组合(如AB、BCD等)中,等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的,请从数学期望的角度分析,小明应选择何种方案,并说明理由.x122.设函数fxax2,其中aR.ex(1)讨论fx的单调性;(2)若fx存在两个极值点,设极大值点为x0,x1为fx的零点,求证:x0x1ln2.第4页/共4页学科网(北京)股份有限公司沈阳市第120中学2023-2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分:150分时间:120分钟命题人:马健于茂源校对人:高越一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)Axx28x150Bxax101.设集合,集合,若BA,则实数a取值集合的真子集的个数为()A.2B.3C.7D.8【答案】C【解析】【分析】先求出集合A,然后分a0和a0两种情况由BA可求出a的值,从而可求出实数a取值集合,进而可求出其真子集的个数.【详解】由x28x150,得(x3)(x5)0,解得x3或x5,所以A3,5,当a0时,B,满足BA,11111当a0时,B,因为BA,所以3或5,得a或a,aaa3511综上,实数a取值的集合为0,,,35所以实数a取值集合的真子集的个数为2317,故选:C2.已知复数z满足(12i)z32i,则z的虚部为()8811A.B.C.D.5555【答案】A【解析】1818【分析】根据复数的运算法则,求得zi,得到zi,结合复数的定义,即可求解.5555第1页/共25页学科网(北京)股份有限公司32i32i12i18【详解】由复数(12i)z32i,可得zi,12i12i12i55188所以zi,所以复数z的虚部为.555故选:A.n23.若的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则该项式的展开式中常数项为()x2xA.90B.-90C.180D.-180【答案】C【解析】【分析】由已知可知项数n=10,再表示通项并令其中x的指数为零,求得指定项的系数即可.n2【详解】解:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则项数n=10,即x2x210,x2xr105r10r2r则通项为TCrx2Crx2,r110210x105r2令0r2,则TC22180.2310故选:C.4.向量ab1,c3且abc0,则cosac,bc()131344A.B.C.D.141455【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.2221【详解】由已知可得cabcab2abab,2又ac2ab,bc2ba,222aba2b2a5ab2b13所以cosac,bc.22224a4abb4b4aba7714故选:A第2页/共25页学科网(北京)股份有限公司5.在《九章算术商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.在方亭ABCDA1B1C1D1中,AB2A1B12,四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为33,则该方亭的体积为()7777A.B.C.2D.22626【答案】D【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到AA1的长度,然后作辅助线找到并求方亭的高,最后利用棱台的体积计算公式求解即可.【详解】如图,过A1作A1EAB,垂足为E,33由四个侧面的面积之和为33知,侧面ABB1A1的面积为,41333()ABABAE(梯形的面积公式),则AE.211141211123由题意得:AE()ABAB,在△中,222.11RtAA1EAA1AEA1E()12222连接AC,AC11,过A1作A1FAC,垂足为F,12易知四边形ACC1A1为等腰梯形且AC22,AC2,则AFACA1C1,11222AFAA2AF2,112127该方亭的体积V(12221222)2,(棱台的体积公式).326故选:D.56.在数列an中,a11,且函数fxxan1sinx2an3x3的导函数有唯一零点,则a9的值为().A.1021B.1022C.1023D.1024第3页/共25页学科网(北京)股份有限公司【答案】A【解析】【分析】对应函数求导,利用奇偶性定义判断f()x为偶函数,根据有唯一零点知f(0)0,构造法有an132(an3),应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.4【详解】由f(x)5xan1cosx2an3在R上有唯一零点,44而fx()5(xa)n1cos(xa)2n35xaxan1cos2n3fx(),所以f()x为偶函数,则f(0)an12an30,故an132(an3),且a134,n1n1所以{an3}是首项为4,公比为2的等比数列,则an3422,10则a9231021.故选:A【点睛】关键点点睛:判断导函数f()x为偶函数,进而得到f(0)0为关键.7.已知点P是圆M:(x2)2(y2)22上的动点,线段AB是圆C:(x1)2(y1)24的一条动弦,且|AB|23,则|PAPB|的最大值是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