滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅱ考试数学试卷命题人:大连市第一中学林卓校对人:大连市第一学贾天雷第Ⅰ卷(共60分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.21.已知R是实数集,M={푥|<1},N={y│y=√1−푥}则M∪푁=()푥A.RB.[0,+∞)C.(2,+∞)D.(−∞,1]∪(2,+∞)2.在复平面内,复数z的对应点为(1,1-),则푧̅2=()A.2B.-2C.2iD.−2i3.已知m,n为两条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若m//,n//,则mn//B.若m,n,m//,n//,则//C.若m⊥,n//,⊥,则mn⊥D.若⊥,⊥,且=m,则m⊥4.设{푎푛}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,aa2nn−1+20”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.8月29日,华为在官方网站发布了Mate60手机,其中大部分件已实现国产化,5GS技术更是遥遥领先,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:CW=+log21,N它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信S号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪N比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而高三数学卷第1页共5页{#{QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=}#}将信噪比从1000提升至5000,则C大约增加了()(参考数值:lg20.301)A.43%B.33%C.23%D.13%6.在四面体ABCD中,AD⊥底面ABC,AB==AC10,BC=2,点G为三角形244ABC的重心,若四面体ABCD的外接球的表面积为,则tan=AGD()912A.B.2C.D.√222xy227.设FF,是双曲线C:−=1(a0,b0)的左,右焦点,点P在C上,若12ab22=FPF,且||O2Pa=(O为坐标原点),则C的渐近线方程为()123A.yx=B.yx=2C.yx=3D.yx=2푥1488.已知实数x1、x2满足푥1푒=푒;푥2(푙푛푥2−4)=푒,则xx12=()A.푒4B.푒6C.푒7D.푒8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知实数ab0,则下列不等式成立的是()bb+211A.B.ab++aa+2baa++blgalgbC.abbaD.lg2210.抛物线C:푦2=4x的焦点为F,过点F的直线푙交抛物线C于A、B两点(点A在x轴的下方),则下列结论正确的是()A.若|퐴퐵|=8,则AB中点到y轴的距离为4B.弦AB中点的轨迹为抛物线C.若퐵퐹⃗⃗⃗⃗⃗=3퐹퐴⃗⃗⃗⃗⃗,则直线AB斜率k=3D.4|퐴퐹|+|퐵퐹|≥91111.已知函数fx()=+,在下列结论中正确的是()sinxxcos高三数学卷第2页共5页{#{QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=}#}πA.2π是fx()的一个周期B.fx()的图象关于直线x=对称4ππC.fx()在区间−,0上无最大值D.fx()在区间−,0上有最小值2212.已知四棱锥PA−BCD,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PAAD==2,点M在平面ABCD上,且AM=AD(01),则()πA.存在,使得直线PB与AM所成角为6B.不存在,使得平面PAB⊥平面PBMC.当一定时,点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的2外接球的表面积为41(2+)π2D.若=,以P为球心,PM为半径的球面与四棱琟P−ABCD各面的交线226+长为π2第Ⅱ卷(共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正四棱台ABCD−퐴1퐵1퐶1퐷1中,AB=3퐴1퐵1=3,퐴퐴1=√6,则其体积为______.114.若函数f(x)=x32+x−2在区间(aa−4,)上存在最小值,则实数a的取值范围3______.*15.已知数列an满足a1=2,a2=5,an++21+=45anan,nN,设2023ban=log41n+,其中x表示不超过x的最大整数,Sn为数列的前n项和,bbnn+1若Sn=2021,则正整数n的取值范围为__________.16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯详尽、系统的研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了圆锥曲线的光学性质。如图甲,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线푙′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直高三数学卷第3页共5页{#{QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=}#}线。如图乙,椭圆C的中心在坐标原点,퐹1、퐹2分别是其左、右焦点,直线푙与椭圆C相切于点(在第一象限),过点与切线垂直的法线′与轴交于点,若直线P点PP且푙푙xQ푃퐹2的斜率为−2,|푃푄|=|푄퐹2|,则椭圆C的离心率为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知圆M的圆心与点N(−1,4)关于直线x−y+1=0对称,且圆M与y轴相切于原点O.(1)求圆M的方程;(2)若在圆M中存在弦AB,|퐴퐵|=4,且弦AB中点P在直线2x+y+k=0上,求实数k的取值范围。18.(本小题满分12分)已知abc,,是∆ABC的内角A,,BC的对边,AD是BC边上的中线,设=BAD,且+=C900.(1)试判断∆ABC的形状;(2)若bc==8,6,试求ADC的余弦值。19.(本小题满分12分)已知푆푛为数列{푎푛}的前n项和,푎1=2,푆푛+1=푆푛+4푎푛−3,记푏푛=푙표푔2(푎푛−1)+3(1)求数列{푏푛}的通项公式;푛+11+푏푛2(2)已知푐푛=(−1)∙,记数列{푐푛}的前n项和为푇푛,求证:푇푛≥。푏푛푏푛+121高三数学卷第4页共5页{#{QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=}#}20.(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,∆ABC和∆ACD均为正三角形,ACB==E23,,点M为线段CD上一点.(1)求证:DEAM⊥;π(2)若直线EM与平面ACD所成角为,求平面AMB与平面ACD3所成锐二面角的余弦值。21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;xy22(2)过点F且斜率不为零的直线푙交椭圆E:+=1于A,B两点,交曲线C于M,431N两点,若−为定值,求实数λ的值。ABMN22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=asinx−ln(1+x).(1)若对x(−1,0时,fx()0,求正实数a的最大值;n1(2)证明:sinln2。2k=2k高三数学卷第5页共5页{#{QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=}#}
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