河南省信阳市信阳高级中学2023—2024学年高三上学期第一次模拟数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学试题命题人：付其才审题人：李艳一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1．若集合,则（）A．B．C．D．2．已知是单位向量，若,则在上的投影向量为（）A．B．C．D．3．设,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知,则（）A．B．C．D．5．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．6．尼知的数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．在四棱雉中，底面是直角梯形，．若,且三棱雉的外接球的表面积为，则当四棱雉的体积最大值时，长为（）A．B．2C．D．8．已知则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．己知复数，下列命题正确的是（）A．B．若,则C．D．10．己知等比数列的公比为,前项积为,若,则（）A．B．C．D．11．如图，直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则下列说法正确的有（）A．平面B．四棱雉外接球的体积为B．二面角的大小为D．与平面所成角的正切值为12．定义在的函数满足,且都有，若方程的解构成单调递增数列,则下列说法中正确的是（）A．B．若数列为等差数列，则公差为6C．若,则D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列满足,则公差__________．14．己知函数（,且），曲线在点处的切线与直线平行，则__________．15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具，为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味如今也成为了一种颇具意趣的藏品，如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的倲棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是__________．16．己知函数,不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）己知函数,（1）求关于的不等式的解集；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围18．（2分）已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，函数的最大值为2，且__________．请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当时；③是函数的一条对称轴并解答下列问题：（1）求函数的解析式；（2）在中，分别是角的对边，若的面积,求的值．19．（12分）己知数列中，（1）令,求证：数列是等比数列；（2）令,当取得最大值时，求的值．20．（12分）如图，在梯形中，．（1）若，求梯形面积；（2）若,求．21．（12分）如图，五面体中，平面，为直角梯形，，．（1）若为的中点，求证：平面（2）求的余弦值．22．（12分）（1）证明：当时，;（2）已知函数,若为的极大值点，求的取值范围．河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学答案一、选择题：题号123456789101112答案CDACDCDDACACABCABD8．因为，所以；令,所以在上单调递增，因为，所以,即,所以．所以；同理，所以,即,也即,所以,所以．综上，,故选：D．11．解：对于A,为中点，,∴四边形为平行四边形，又,∴四边形为矩形，；，,又平面,平面,A正确；对于B,,即平面平面,,又平面平面；∵矩形的外接圆半径，∴四棱锥的外接球半径，∴四棱锥外接球的体积，B正确；对于C,平面平面，；又,∴二面角的平面角为,，∴二面角的大小为,C正确；对于D,平面即为直线与平面所成角，，，即直线直线与平面所成角的正切值为，D错误．故选：ABC．12．解：都有,关于对称，令,则,即．∵在的函数满足的周期为6，作出函数在内的图象如图：A．,故A正确．B．由图象可知：若数列为等差数列，则,此时与在内有且仅有一个交点，周期是6，即,即数列的公差为6，故B正确，C．若,即,可得,则,即与在内有且仅有2个交点，结合图象可得，故C错误；D．若,则与在内有且仅有3个交点，且,则,∴数列是以7为首项，公差的等差数列，可得,,故D正确．故选：ABD．二、填空题：13．214．15．16．116．解：因为,所以为上的奇函数，又，所以在上单调递增．因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令,所以,所以当时，在上为增函数；当时，在上为减函数．所以,设,显然为上的增函数，因为，所以存在，使得,所以,此时,所以，即的最大值为1．故答案为：1．三、解答题17．解：（1）由得,令,得,当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（5分）（2）由即在上恒成立，得令，则．故实数的取值范围是10分18．解：（1）由题意得，∴最小正周期，则，．若选①，为奇函数，则，，即，，即，，即，．若选②，当时，即，．若选③，是函数的一条对称轴，，即，．6分（2），即，即，即，又的面积得，在中，由余弦定理得，解得．12分19．（1）证明：由题意，当时，,则,又，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．5分（2）解：由（1）可知，,则，即,各项相加，可得,∵当时，也满足上式，，,则，,9分令,则,,∵当时，，此时,当时，，此时,，，∴当或2时，,当时，,即当或2时，，当时，，∴当时，数列取得最大值，故．12分20．解：（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：,解得,所以，则，因为，所以，所以；5分（2）设,则，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，两式相除可得，展开可得，所以可得,即,解得或，又因为，所以，即．12分21．（1）证明：取的中点,连接,分别是的中点，且；且；．又平面平面平面；5分（2）解：方法一、以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,则，．设平面的一个法向量为,则，取,得．同理可求平面的一个法向量为．．平面和平面为同一个平面，∴二面角的余弦值为；方法二、以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,则，，，设平面的一个法向量为,则，取，得．易知平面的一个法向量为．．∴二面角的余弦值为．22．（12分）（1）证明：当时，；（2）已知函数,若为的极大值点，求的取值范围．（1）证明：设，则，在上单调递减，在上单调递减，,即，,设,则在上单调递增，,即,综合可得：当时，；（2）解：，且,①若,即时，易知存在，使得时，，在上单调递增，，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若,即或时，存在，使得时，，在上单调递减，又，∴当时，单调递增；当时，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；③若,即时，为偶函数，∴只考虑的情况，此时时，，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去，综合可得：的取值范围为．