广西三新学术联盟2023-2024学年高三上学期11月联考数学试题

2023年广西三新学术联盟高三年级11月联考数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟．注意事项：1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．若（其中为虚数单位），则（）A．1B．2C．3D．43．为了得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．已知向量，若向量与垂直，则实数的值为（）A．B．1C．或1D．5．北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是（）A．24是样本容量B．120名社团成员中男生有50人C．高二与高三年级的社团成员共有90人D．高一年级的社团成员中女生最多有30人6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（）图1图2A．B．C．D．7．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．8．已知是体积为的球体表面上的四点，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期为B．在区间上单调递减C．是函数图象的一条对称轴D．的图象关于点对称10．从1，2，3，4……2024这些数数据中篮选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则下面对该数列描述正确的是（）A．B．数列为等差数列C．数列为等差数列D．该数列共有170项11．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（）A．线段长度的最小值为4B．当直线斜率为-1时，中点坐标为C．以线段为直径的圆与直线相切D．存在点，使得12．若正实数满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中含项的系数为____________．14．直线与直线垂直，且被圆截得的弦长为，则满足条件的直线的一个方程为____________．（写出一个方程即可）15．若函数是上的减函数，则实数的最大值为____________．16．将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，由题意可知，则____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知是数列的前项和，且满足，（1）记，求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和18．（本题满分12分）已知在中，内角所对的边分别为，已知（1）若，求周长的最大值（2）若，满足此条件的三角形只有一个，求实数的取值范围19．（本题满分12分）某调查小组为了解本市不同年龄段的肺炎患者在肺炎确诊两周内的治疗情况，在肺炎患者中随机抽取100人进行调查，并将调查结果整理如下：两周内治愈两周内未治愈12岁以上（含12岁）451512岁以下2515（1）试判断是否有的把握认为该市肺炎患者在肺炎确诊两周内治愈与年龄有关；（2）现从样本中肺炎确诊两周内未治愈的人群中用分层抽样法抽取6人做进一步调查，然后从这6人中随机抽取3人填写调查问卷，记这3人中12岁以下的人数为，求的分布列与数学期望．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．20．（本题满分12分）如图：四棱雉中，底面为矩形，为直角三角形，的面积是面积的倍．（1）求证：平面平面；（2）为上的一点，四棱雉的体积为四棱雉体积的一半，求直线与平面所成角的正弦值．21．（本题满分12分）已知双曲线的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为12．（1）求双曲线的标准方程；（2）过作直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数．（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若方程有三个不同的根，求实数的取值范围．2023年广西三新学术联盟高三年级11月联考数学试题参考答案1．D【详解】，则．故选D．2．C【详解】由，可得，解得，故选C．3．A【详解】因为，所以只需要将函数的图像向左平移个单位，即可得到的图象．4．C【详解】由与垂直，可得，解得或1，故选C．5．B【详解】对于A，由样本容量定义知：样本容量为24，A正确；对于B，女生共有人，男生有人，B错误；对于C，高一年级的社团成员有人，高二高三年级的社团成员共有人，C正确；对于D，由C知：高一年级的社团成员共30人，高一年级的社团成员中女生最多有30人，正确．故选：B．6．C【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为（平方米），圆柱的侧面积为（平方米），圆台的侧面积为（平方米），故该组合体的表面积为（平方米）．故选：C7．D【详解】设椭圆的左焦点为，连接，设圆心为，则，则圆心坐标为，半径为，由于，故线段与圆（其中）相切于点，，则，，故选：D．8．B【解析】设球心为，分别取的外接圆圆心为，连接，点为中点，则，由为外心，故，则，由题意可得平面，故平面与平面的夹角，即为的余角．在中，，则由正弦定理可得，由球的半径为3，故，由平面平面，可得，则中，，故的余角的余弦值为，故选B．9．ACD【详解】函数对于A，的周期为，故A正确；对于B，由，得，从而即时，单调递减，故B不正确；对于C，，所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．10．AB【详解】将1到2024这2024个数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为2，公差为12的等差数列，则数列的通项公式为，故A正确；故B正确；，不为常数，故C错误；由知数列共有169项，故D错误．11．BCD【解析】为，通径最短，故最短长度为，A错误；此时直线为，法一．与联立得，，故中点为，法二．设中点坐标为，两式相减有，故，故，B正确；设中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线定义知，，故以线段为直径的圆与直线相切，C正确；设直线为，与联立得，，故，D正确HYPERLINKhttp://12.BD\h12．BD【详解】依题意可知，不等式可化为，令，则，即，设，所以在区间递增；在区间递减．所以，所以要使成立，则，即，由于，故解得，则，所以BD选项正确．13.40【详解】依题可得14．（答案不唯一）【详解】因为直线与直线垂直，可设，由圆，可得圆心坐标为，半径为，又因为弦长为，可得圆心到直线的距离为，即，解得或．所以直线的方程为或，故答案为：（或．15．【详解】是上的减函数，则在上恒成立，即在上上恒成立，设，则，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增，故函数，故，即的最大值为．故答案为：16．【详解】当时，，当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，所以，要求，即抛郑次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第次反面向上，前次未出现连续3此正面即可；若第次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表：第次次次概率反面正面反面正面正面反面所以，又17．【答案】（1）当时，，解得．当时，，两式子相减得，，即可以得到，即又，数列是一个以1为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，，而故18．（1），得由余弦定理得：又因为故当且仅当成立，周长最大值为9（2）由正弦定理得，则有又因为，即满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，则由可知或19．【解析】（1）两周内治愈两周内未治愈合计12岁以上（含12岁）45156012岁以下251540合计7030200故没有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关（2）根据题意，在抽取的6人中，根据两周内未治愈的人群中12岁以上和12岁以上人数比值为，则抽取的6人中12岁以上和12岁以上人数各3人则的可能取值为0，1，2，3．，故的分布列为0123的数学期望20．（1）证明：，即为直角，，取中点，连接，取中点，连接，，又，，平面平面平面平面（2）由（1）可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示设，为中点设平面的法向量为，令设直线与平面所成夹角为，则直线与平面所成夹角的正弦值为21．【解析】（1）由题意知：故，故则，故双曲线的标准方程为（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，设，当斜率存在时，设方程为当为定值时，，则此时当斜率不存在时，存在满足条件的点，其坐标为，此时为022．解：（1）当时，则，所以的图象在处的切线方程为：，即（2）方程有三个不同的根，即，两边同同除以，得，令，所以①由，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，当时，，当时，作出的图象，如图所示，由题意可得方程①的根，有一个必在内，另一个根或当时，方程①无意义，当时，，则不满足题意所以当时，由二次函数的性质可得，解得，综上：实数的取值范围为