天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共45分)一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合,,()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法,结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为,,所以,故选:B2.设,则“”是“”的A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解:绝对值不等式,由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数的部分图象是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B,当时,,排除CD,得到答案.【详解】,为奇函数,排除B当时,恒成立,排除CD故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断,通过奇偶性,特殊值法排除选项是解题的关键.4.5G技术在我国已经进入调整发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量,如下表所示:时间12345销售量(千只)0.50.81.01.21.5若与线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是()A.由题中数据可知,变量与正相关,且相关系数B.线性回归方程中C.当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.24个单位D.可以预测时,该商场5G手机销量约为1.72(千只)【答案】ACD【解析】【分析】根据已知数据,分析总体单调性,结合增量的变化判断A选项;根据已知数据得到样本中心点,代入回归方程求解即可判断B选项;根据回归方程判断CD选项.【详解】从数据看随的增加而增加,故变量与正相关,由于各增量并不相等,故相关系数,故A正确;由已知数据得,,代入中得到,故B错;根据线性回归方程可得每增加一个单位时,预报变量平均增加0.24个单位,故C正确.将代入中得到,故D正确.故选:ACD.5.已知,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为,而,且,所以.又,所以,故选:A.6.已知,则()A.11或 B.11或 C.12或 D.10或【答案】A【解析】【分析】对两边同时取对数,可解得或,讨论或时的值,即可得出答案.【详解】由,两边取对数得,所以或.当时,8,所以;当时,,所以,综上,或,故选:A.7.“送出一本书,共圆读书梦”,某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动,运送的卡车共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况:丢失的英语书、数学书和语文书,计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书,事件表示丢失的一箱为分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得.故选:A8.将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图像,有下述四个结论:①②函数在上单调递增③点是函数图像的一个对称中心④当时,函数的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②③ B.②③ C.①③④ D.②④【答案】B【解析】【分析】根据图象变换可得,结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得:,故①错误;因为,则,且在上单调递增,所以函数在上单调递增,故②正确;因为,所以点是函数图像的一个对称中心,故③正确;因为,则,所以当,即时,函数的最大值为,故④错误;故选:B.9.已知函数有且只有3个零点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求时函数的零点,再考虑时,函数在的零点,由此确定函数在上的零点个数,结合二次函数性质求a的取值范围.【详解】当时,,所以区间内的任意实数和都为函数的零点,不满足要求;当时,若,则,令,可得(舍去),或,所以为函数的一个零点;若,则,令,则,所以,若,即,则函数在上有一个零点;若或时,则函数在上没有零点;当时,函数在上有两个零点;当或时,函数在上有一个零点,因为当时,函数在上有两个零点;又函数在上有3个零点,所以函数在上有且只有一个零点,即方程在上有一个根,由,当时,方程的根为(舍去),故时,方程在上没有根,矛盾当时,,设,函数的对称轴为,函数的图象为开口向下的抛物线,由方程在上有一个根可得,所以,所以,当时,则函数在上有一个零点;又函数在上有3个零点,所以函数在上有且只有两个零点,即方程在上有两个根,由可得函数的图象为开口向上的抛物线,函数的对称轴为,则,,,所以,,满足条件的不存在,当时,则函数在上有一个零点;又函数在上有3个零点,所以函数在上有且只有两个零点,即方程在上有两个根,由可得函数的图象为开口向下的抛物线,函数的对称轴为,则,,,所以,,,所以,故实数a的取值范围是.故选:B【点睛】关键点睛:含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值,将其转化为不含绝对值的函数,分段函数的性质的研究可以分段研究.第Ⅱ卷(非选择题共105分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案填写在答题卡上.10.复数(为虚数单位),则______.【答案】【解析】【分析】先利用复数的运算化简复数,再利用模长的公式求解模长.【详解】.所以.故答案为:11.在的二项展开式中,的系数为___________.【答案】【解析】【详解】试题分析:因为,所以由得,因此的系数为考点:二项式定理【方法点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项的系数.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.12.若,,则________;________.【答案】①.##②.##0.6【解析】【分析】由,,可得出,再结合同角平方关系即可求出,从而算出,再由二倍角公式求出.【详解】,,即,,又,解得,,解得,.综上,、.故答案为:,.13.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为,乙、丙科目合格的概率均为,且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X,则___________;___________.【答案】①.;②.##.【解析】【分析】根据独立事件概率的公式,结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】;,,,所以,故答案为:;14.已知,,则的最大值为________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为,,所以,当且仅当即等号成立.故答案为:.15.设,函数.若在上单调递增,且函数与的图象有三个交点,则的取值范围是________.【答案】.【解析】【分析】利用在上单调递增可得,函数与的图象有三个交点,可转化为方程在上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当时,,因为在上单调递增,所以,解得,又函数与图象有三个交点,所以在上函数与的图象有两个交点,即方程在上有两个不同的实数根,即方程在上有两个不同的实数根,所以,解得,当时,令,由时,,当时,,此时,,结合图象,所以时,函数与的图象只有一个交点,综上所述,.故答案为:.【点睛】关键点点睛:解题的关键点是转化为方程在上有两个不同的实数根.三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把解题过程写在答案卡上.16.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.(1)求角;(2)若,求的值;(3)若,,求的值.【答案】(1).(2).(3)【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角后,由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得;(2)由二倍角公式求得后再由两角和的正弦公式可求值;(3)由正弦定理求得,再由余弦定理求得.【详解】(1)∵,由正弦定理得,∴,即.∵,∴又,∴(2)由已知得,∴,∴.(3)由正弦定理,得.由(1)知,,∴由余弦定理得,.∴【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式,同角间的三角函数关系,考查公式较多,解题关键是正确选择应用公式的顺序.在三角形中出现边角关系时,常常用正弦定理进行边角转换.17.已知底面是正方形,平面,,,点、分别为线段、中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值;(3)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值是,若存在求出的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在;或【解析】【分析】(1)法一:分别取、的中点、,连接、、,证明出平面平面,利用面面平行的性质可证得结论成立;法二:以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值;(3)假设存在点,使得,其中,求出向量的坐标,利用空间向量法可得出关于的方程,解之即可.【小问1详解】证明:法一:分别取、的中点、,连接、、,由题意可知点、分别为线段、的中点.所以,,因为,所以,所以点、、、四点共面,因为、分别为、的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,又因为,平面,平面,所以平面,又因为,、平面,所以平面平面,因为平面,所以平面;法二:因为为正方形,且平面,所以、、两两互相垂直,以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、、,所以,易知平面的一个法向量,所以,所以,又因为平面,所以平面.【小问2详解】解:设平面的法向量,,,则,取,可得,所以平面的一个法向量为,易知平面的一个法向量,设平面与平面夹角为,则,所以平面与平面夹角余弦值为;【小问3详解】解:假设存在点,使得,其中,则,由(2)得平面的一个法向量为,由题意可得,整理可得.即,因为,解得或,所以,或.18.已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,.(1)求的通项公式;(2)证明:当时,.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为,用表示及,即可求解作答.(2)方法1,利用(1)的结论求出,,再分奇偶结合分组求和法求出,并与作差比较作答;方法2,利用(1)的结论求出,,再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出,并与作差比较作答.【小问1详解】设等差数列的公差为,而,则,于是,解得,,所以数列的通项公式是.【小问2详解】方法1:由(1)知,,,当为偶数时,,,当时,,因此,当奇数时,,当时,,因此,所以当时,.方法2:由(1)知,,,当为偶数时,,当时,,因此,当为奇数时,若,则,显然满足上式,因此当为奇数时,,当时,,因此,所以当时,.19.如图,已知椭圆:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,线段的中点为,直线:交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:点在直线上;(3)是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)详见解析(3)存在,且【解析】【分析】(1)根据离心率和焦点坐标列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)写出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,求得中点的坐标,将坐标代入直线的方程,满足方程,由此证得点在直线上.(3)由(2)知到的距离相等,根据两个三角形面积的关系,得到是的中点,设出点的坐标,联立直线的方程和椭圆的方程,求得点的坐标,并由此求得的值.【详解】解:(1)解:由,解得,
天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
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