大港一中2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一、选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集,集合,则集合()A. B. C. D.2.有一组样本数据如下:56,62,63,63,65,66,68,70,71,74,则其75%分位数为()A.68 B.69 C.70 D.713.是函数在单调递减的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要4.函数的图像大致为()A. B.C. D.5.已知随机变量服从正态分布,若,则等于()A0.484 B.0.439 C.0.878 D.0.9396.已知,则的大小关系为()A. B.C. D.7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关,某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生,依据独立性检验,经计算得到,参照下表,得到的正确结论是()P(≥)0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”8.在三个地区暴发了流感,这三个地区分别有的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为()A. B. C. D.9.设函数,其中向量,,,则下列选项错误的是()A.直线是函数的一条对称轴B.点是函数的一个对称中心C.在区间上单调递增D.图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数10.设实数满足,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知函数有最大值,则实数取值范围为()A. B. C. D.12.已知函数(其中a∈R),若的四个零点从小到大依次为,则的值是()A.16 B.13 C.12 D.10二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.13.是虚数单位,计算__________.14.的展开式中,的系数为__________.15__________.16.小明上学途中共有4个红绿灯,且小明遇到每个红灯的概率均为,记某次小明上学途中遇到红灯的次数为,则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________,__________.17.新冠肺炎疫情发生以来,中医药全面参与疫情防控救治,做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入(亿元)与产品收益(亿元)的数据统计如下表:研发投入(亿元)12345产品收益(亿元)3791011用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是,当研发投入亿元时,相应的产品收益估计值为__________.18.某校高三1班第一小组有男生4人,女生2人,为提高中学生对劳动教育重要性的认识,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习,恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________;在至少有一名女生参加劳动学习的条件下,都是女生参加劳动学习的概率______________.19.设函数(A,,是常数,,).若在区间上具有单调性,且,则______.20.如图,在平行四边形中,,点分别在边上,且,若点为的中点,且满足,则________;当点在线段上运动时,的取值范围为________.三、解答题:本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.21.已知.(1)求值;(2)求的值;(3)当是第四象限角时,求的值.22.在中,角的对边分别为,已知.(1)求的值;(2)若,且,求边长及的面积.(3)若,求的值.23.已知函数(其中).(1)若,求在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)若恒成立,求实数的取值范围.24.已知函数,.(1)证明:对任意,;(2)若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围;(3)是的导函数,若函数,证明:,.大港一中2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一、选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集,集合,则集合()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意,根据补集的概念和运算可得,结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由,得或,所以.故选:C2.有一组样本数据如下:56,62,63,63,65,66,68,70,71,74,则其75%分位数为()A.68 B.69 C.70 D.71【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列,因为,所以75%分位数为第个数据,即为.故选:C.3.是函数在单调递减的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】先化简函数,可得函数的单调递减区间为,进而结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】,显然函数的单调递减区间为,所以时,函数在单调递减;若函数单调递减,则,所以是函数在单调递减的充分不必要条件.故选:A.4.函数的图像大致为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的定义域,奇偶性及其他性质判断即可.【详解】的定义域为且,因为,所以为奇函数,排除A,D,当时,,B错误,故选:C.5.已知随机变量服从正态分布,若,则等于()A.0.484 B.0.439 C.0.878 D.0.939【答案】B【解析】【分析】先根据求解,再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为,所以.故选:B.6.已知,则的大小关系为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得,进而得,结合对数的运算性质可得,即可求解.【详解】由,得,即,又,所以.,所以.故选:A.7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关,某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生,依据独立性检验,经计算得到,参照下表,得到的正确结论是()P(≥)0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】【分析】比较观测值与参照值大小,根据独立检验的基本思想确定结论即可.【详解】由,即在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”.故选:C8.在三个地区暴发了流感,这三个地区分别有的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区,结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得,从这三个地区中任意选取一人,则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中,故这个人患流感的概率为,故选:D9.设函数,其中向量,,,则下列选项错误的是()A.直线是函数的一条对称轴B.点是函数的一个对称中心C.在区间上单调递增D.图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,利用正弦型函数的对称性可判断AB选项;利用正弦型函数的单调性可判断C选项;利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】由已知可得,对于A选项,因为,所以,直线是函数的一条对称轴,A对;对于B选项,因为,故点是函数一个对称中心,B对;对于C选项,当时,,此时,函数在区间上不单调,C错;对于D选项,图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数的图象,该函数为偶函数,D对.故选:C.10.设实数满足,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由,结合基本不等式求解即可.【详解】因为,则,当且仅当,即时取等,所以的最小值为.故选:B.11.已知函数有最大值,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由当时,,根据时,函数值的范围不超过列不等式求解即可.【详解】因为当时,,要使有最大值,则时,函数值的范围不超过可得解得.故选:A.12.已知函数(其中a∈R),若的四个零点从小到大依次为,则的值是()A.16 B.13 C.12 D.10【答案】C【解析】【分析】根据零点的定义,通过转化法、数形结合思想进行求解即可.【详解】令,设,图象如下图所示:所以有,且,因此可得,所以,故选:C二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.13.是虚数单位,计算__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得,结合复数的几何意义即可求解.【详解】,.故答案为:.14.的展开式中,的系数为__________.【答案】【解析】【详解】,由得,所以的系数为点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.15.__________.【答案】【解析】【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】原式.故答案为:.16.小明上学途中共有4个红绿灯,且小明遇到每个红灯的概率均为,记某次小明上学途中遇到红灯的次数为,则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________,__________.【答案】①.②.【解析】【分析】结合题设有,再应用二项分布的期望公式求.【详解】由题设,小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为:,又,由二项分布期望的求法可得.故答案为:;.17.新冠肺炎疫情发生以来,中医药全面参与疫情防控救治,做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入(亿元)与产品收益(亿元)的数据统计如下表:研发投入(亿元)12345产品收益(亿元)3791011用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是,当研发投入亿元时,相应的产品收益估计值为__________.【答案】亿元【解析】【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程,求出的值,可得出回归直线方程,再将代入回归直线方程,可得结果.【详解】由表格中的数据可得,,将样本中心点代入回归直线方程可得,解得,所以,回归直线方程为,当时,(亿元),因此,当研发投入亿元时,相应的产品收益估计值为亿元.故答案为:亿元.18.某校高三1班第一小组有男生4人,女生2人,为提高中学生对劳动教育重要性的认识,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习,恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________;在至少有一名女生参加劳动学习的条件下,都是女生参加劳动学习的概率______________.【答案】①.②.【解析】【分析】设表示事件“恰有一名女生参加学习”,表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”,设表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式,可分别求得.【详解】设表示事件“恰有一名女生参加学习”,表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”,设表示事件“都是女生参加劳动学习”,则所以故答案为:;.19.设函数(A,,是常数,,).若在区间上具有单调性,且,则______.【答案】2【解析】【分析】根据函数在区间上具有单调性可得;再根据可知其图象的一条对称轴为,和其相邻的一个对称中心为,即可求得.【详解】由函数在区间上具有单调性可知,解得;又,且,所以函数关于直线对称,由可得函数的一个对称中心为,即其图象关于成中心对称;所以,解得.故答案为:220.如图,在平行四边形中,,点分别在边
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