衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人:刘瑶审题人:颜军注意事项:本试卷满分为150分,时量为120分钟一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分)1.若集合A{x|0x2},B{x|x21},则AB()A.{x|0x1}B.{x|1x2}C.{x|0x2}D.{xx0或x1}2.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(,﹣)B.(,)C.(0,﹣1)D.(0,1)f(x)f(x)213.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2[0,)(x1x2),有0,则()x2x1A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(1)f(3)C.f(3)f(1)f(2)D.f(3)f(2)f(1)4.已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S3nS2nS2nSn”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某校高三有1000人参加考试,统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105,σ2),且成绩优良(不低于120分)的人数为360,则此次考试数学成绩及格(不低于90分)的人数约为()A.360B.640C.720D.780x2y2.椭圆的左、右焦点分别为F,F,A为上顶点,若△AFF的面积为,则△AFF的周长为621a31212312a3()A.8B.7C.6D.57.设函数fxaxmexaxlnx(其中e为自然对数的底数),若存在实数a使得fx0恒成立,则实数m的取值范围是()1121A.,B.,C.e,D.,e2ee28.如图,在三棱锥SABC中,SASCAC22,ABBC2,二面角SACB的正切值是2,则三棱锥SABC外接球的表面积是()43A.12πB.4πC.43πD.π3二、多选题(本大题共4小题,每题5分,共20分)试卷第1页,共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}9.已知向量a(1,3),b(2,4),则下列结论正确的是()3A.(ab)aB.|2ab|10C.向量a,b的夹角为D.b在a方向上的投影向量是10a410.设等比数列an的前n项和为Sn,前n项积为Tn,若满足0a11,a7a40401,a20231a202410,则下列选项正确的是()A.an为递减数列B.S20231S2024C.当n2023时,Tn最小D.当Tn1时,n的最小值为404711.已知函数fxcos2x2sinx,则()A.函数fx在区间,上单调递增B.直线x是函数fx图象的一条对称轴6223C.函数fx的值域为1,D.方程fxax0,2π最多有8个根,且这些根之和为8π2212.已知直线l:ykx2交y轴于点P,圆M:x2y21,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则()15A.若直线l与圆M相切,则kB.当k2时,四边形PAMB的面积为219157C.直线AB经过一定点D.已知点Q,0,则CQ为定值4三、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分)13.在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻,两个8不相邻,那么小明可以设置的不同密码共有个.114.曲线fxxaex在点0,f0处的切线与直线yx垂直,则a.215.底面ABCD为菱形且侧棱AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若DADHDB4,AECG3.则三棱锥FBEG的体积为__________________16.设a0,平行于x轴的直线l:ya分别与函数y2x和y2x1的图像交于点A,B,若函数y2x的图像上存在点C,满足ABC为等边三角形,则a.四、解答题(本大题共6小题,共70分)试卷第2页,共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}317.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,ABAC1且c>b.2(1)求角A的大小;3(2)设M为BC的中点,且AM,求a的长度.218.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a,b,c三道工序,且每道工序的加工都相互独立,三道工序加工合格3率分别为,1,1.三道工序都合格的工艺品为特等品;恰有两道工序合格的工艺品为一等品;恰有一道工序合422格的工艺品为二等品;其余为废品.(1)求加工一件工艺品不是废品的概率;(2)若每个工艺品为特等品可获利300元,一等品可获利100元,二等品将使工厂亏损20元,废品将使工厂亏损100元,记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元,求X的分布列和数学期望.19.在图1中,ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,AB22,ACD为等边三角形,O为AC边的中点,E在BC边上,且EC2BE,沿AC将ACD进行折叠,使点D运动到点F的位置,如图2,连接FO,FB,FE,使得FB4.(1)证明:FO平面ABC.(2)求二面角EFAC的余弦值.220.若数列An满足An1An,则称数列An为“平方递推数列”.已知数列an中,a19,点an,an1在函数f(x)x22x的图象上,其中n为正整数,(1)证明:数列an1是“平方递推数列”,且数列lgan1为等比数列;a,ab,(2)设bnlgan1,cn2n4,定义a*b,且记dnbn*cn,求数列dn的前n项和Sn.b,ab,试卷第3页,共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}x2y221.已知双曲线C:1a0,b0的右焦点,右顶点分别为F,A,B0,b,AF1,点M在线段AB上,a2b2且满足BM3MA,直线OM的斜率为1,O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得EPFQEQFP恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.122.已知函数fxlnxax,a0.x(1)讨论fx极值点的个数;(2)若fx恰有三个零点t1,t2,t3t1t2t3和两个极值点x1,x2x1x2.(ⅰ)证明:fx1fx20;1mem(ⅱ)若mn,且mlnmnlnn,证明:nlnn1.t1t2t3试卷第4页,共4页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}参考答案:123456789101112ACDCBCAAACBCBCDACD83613.3614.115.16.3324.C【详解】因为数列an是公差为d的等差数列,所以3n(3n1)2n(2n1)n(5n1)SS3nad2nadnad,3n2n1212122n(2n1)n(n1)n(3n1)SS2nadnadnad,所以SS(SS)n2d,2nn1212123n2n2nn2若等差数列an的公差d0,则nd0,所以S3nS2nS2nSn,故充分性成立;2若S3nS2nS2nSn,则S3nS2n(S2nSn)nd0,所以d0,故必要性成立,所以“d0”是“S3nS2nS2nSn”的充分必要条件,故选:C.3606405.B【详解】因为P(X90)P(X120),所以P(X90)1P(X90),所以此次考试数学成绩10001000640及格(不低于90分)的人数约为1000640.故选:B1000x2y2.【详解】设椭圆的半短轴长为,半焦距为c,6C21a3ba3△1则b3,AF1F2的面积SF1F2b3c2由题知3c3,所以c1,ab2c22,△由椭圆的定义知AF1AF22a4,又F1F22c2,所以AF1F2的周长为426.故选:C.mexlnxlnxmex7.A【分析】由题意可得(a)(a)0,令gx,h(x),函数ygx和函数yhx的图象,xxxx一个在直线ya上方,一个在直线ya下方,等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值,即可得出答案.【详解】函数fx的定义域为(0,),xxxmelnxlnxme由fx0,得(axme)axlnx0,所以(a)(a)0,令g(x),h(x),xxxx由题意知,函数ygx和函数yhx的图象,一个在直线ya上方,一个在直ya下方,等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值,lnx1lnx由g(x)(x0),得g(x),所以当x0,e时,gx0,gx单调递增,xx2lne1当x(e,)时,gx0,gx单调递减,所以gxg(e),g(x)没有最小值,maxee答案第1页,共11页{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}mexmexxmexmex(x1)由h(x)(x0),得h(x),xx2x2当m0时,在x0,1上hx0,hx单调递增,在x(1,)上hx0,hx单调递减,所以hx有最大值,无最小值,不合题意,当m0时,在x0,1上hx0,hx单调递减,在x(1,)上hx0,hx单调递增,所以h(x)minh(1)me,111所以h1ge即me,所以m,即m的取值范围为(,).故选:A.ee2e28.A【分析】利用二面角SACB的正切值求得SB,由此判断出BSBABC2,且BS,BA,BC两两垂直,由此将三棱锥补形成正方体,利用正方体的外接球半径,求得外接球的表面积.【详解】设E是AC的中点,连接EB,ES,由于SASC,ABBC,所以ACSE,ACBE,所以SEB是二面角SACB的平面角,所以tanSEB2,sinSEBtanSEB3由cosSEB得cosSEB.223sinSEBcosSEB122在SAC中,SESA2AE22226,2在ABE中,BEAB2AE22222,在△SEB中,由余弦定理得:SBSE2BE22SEBEcosSEB2,所以BSBABC2,由于SASCAC22,所以BS,BA,BC两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示,正方体的边长为2,则体对角线长为23.2设正方体外接球的半径为R,则R3,所以外接球的表面积为4πR212π,故选:A.rrr9.AC【详解】对于A,ab3,1,由aba31130,则aba,故A正确;对于B,2ab21,32,44,2,2ab422225,故B错误;2ab102对于C,a
湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第2次(10月)月考数学试题
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