湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考数学答案1.B2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C9.ABD 10.ACD 11.AB12.BC 13.1614.π15.83,4 16t−e≤t<0或t=1e12.解法一：f'(x)=−3x2+4x−3，设切点为(x0,−x03+2x02−3x0)， 则切线方程为y+x03−2x02+3x0=(−3x02+4x0−3)(x−x0)， 将x=−2，y=m代入得，m=2x03+4x02−8x0+6， 令g(x)=2x3+4x2−8x+6，则g'(x)=6x2+8x−8=2(x+2)(3x−2)， ∴x>23或x<−2时，g'(x)>0，当−21时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线y=x上，设切点横坐标为x0,由导数几何意义可知1x0∙lna=ax0∙lna=1,∴ax0=e,lna=1e，a=e1e；(2)由etx=1tlnx，可得etx=logetx，令et=a，则logax=ax（00,∴函数f(x)在R上单调递增……………（8分）用单调性定义证明的同样给分。（3）设A=yy=g(x1),x1∈0,1,B=yy=3f(x2),x2∈0,1,有条件可知，A⊆B……………（9分）由（2）问可知，y=3f(x2)在x2∈0,1时单调递增，∴B=0,1，……………（10分）又∵A=b,12+b，∴b≥012+b≤1,，∴0≤b≤12……………（12分）解：（1）sin 40°(3−tan 10°) =sin 40°(3−sin10°cos10°)……………（1分）=sin 40°(3cos10°−sin10°cos10°)=sin 40°2sin(60°−10°)cos10°=sin 40°2cos40°cos10°=sin80°cos10°=1……………（6分）(2)方法一：sin210°+cos240°+sin10°cos40°=1−cos20°2+1+cos80°2+−sin30°+sin50°2……（8分）=1−14+cos80°−cos 20°+sin50°2=34+cos80°−cos 20°+sin50°2=34+cos（50°+30°）−cos（50°−30°）+sin50°2=34+0=34………（12分）方法二：构造对偶式设m=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,n=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,则……（8分）m+n=2+sin50°,n−m=cos 20°−cos80°+sin30°，则2m=2−12+sin50°−cos 20°+cos80°=32，∴m=34………（12分)方法三：构造三角形，令外接圆半径为12，则由正弦定理可得asin10°=bsin50°=csin120°=2R=2×12=1，………（8分）则a=sin10°,b=cos40°=sin50°,c=sin120°,再由余弦定理，c2=a2+b2−2abcosC=sin210°+sin250°−2sin10°sin50°cos120°=sin2120°=34……（12分)解：（1）记事件A=求恰有一个黑球，则由古典概型公式可得PA=C81C73C154=839；………（3分）（2）X的可能取值为0,1,2,3,4，………（4分）PX=0=C84C154=239，PX=1=C83C71C154=56195，PX=2=C82C72C154=84195，PX=3=C81C73C154=839，PX=4=C74C154=139，X的分布列如下：………（7分）（概率对了一个给1分，不超过7分，此处没有约分的不扣分）X01234P2395619584195839139E(X)=0×239+1×56195+2×84195+3×839+4×139=364195=2815………（9分）（此处没有约分的扣1分）（3）记事件B=取出4个球同色，求全为红球，则由条件概率公式有PB=C74C84+C74=13.………（12分）BDCA21.解：（1）在∆BCD中，S∆BCD=12BD∙BC∙sin∠DBC=23,且BD=2,∠DBC=π3，可得BC=4（2分）在∆BCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2−2DB∙BC∙cos∠DBC=12,∴DC=23……（5分）（2）记∠DCA=θ,θ∈0，π2，则∠BDC=2θ,，∠DAC=θ,∠BCD=2π3−2θ，∠ADC=π−2θ,……（6分）记AD=DC=m,BC=a,在∆BCD中,由正弦定理有BCsin∠BDC=BDsin∠BCD=CDsin∠DBC,∴asin2θ=2sin(2π3−2θ)=msinπ3……（7分）在∆ACD中，由正弦定理有ACsin∠ADC=ADsin∠ACD，∴23sin2θ==msinϑ,……（8分）∴m∙sin2θ=23sinθ=a∙sinπ3,∴a=4sinθ，即有4sinθsin2θ=2sin(2π3−2θ)=2cosθ，……（9分）∴sin(2π3−2θ)=cosθ=sinπ2∓θ，∴∠DCA=θ=π6或π18……（12分）（掉了一个解扣2分）22.解：（1）∵f(x)=xlnx,x>0∴f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0，可得x=1e，列表如下：……………（1分）x0,1e1e1e,+∞f'(x)−0+f(x)↓极小值−1e↑………（2分）∴f(x)的单调递减区间为0,1e，单调递增区间为1e,+∞，极小值为−1e，无极大值。（“无极大值”掉了的扣1分）……（4分）（2）解法1：要证ex−2x>x∙xlnx，只需证ex−2xx2>lnx（对数靠边走）………（5分）设g(x)=ex−2xx2−lnx，则g'(x)=(ex−x)∙x−2x3，易知ex≥x+1>x,令g'(x)=0，可得x=2，列表如下：……（6分）x0,222,+∞g'(x)−0+g(x)↓极小值g(2)↑∴g(x)min=g(2)=e2−44−ln2==e2−(4+4ln2)4，由于e2≈7.39>7，e3≈20.09>16,…（7分）4+4ln2=4+ln16<4+lne3=7，……（8分）∴e2−(4+4ln2)>0，从而不等式得证。……（9分）解法2：要证ex−2x>x∙xlnx，只需证x2lnx+2xex<1，（指数找朋友）………（5分）设ℎ(x)=x2lnx+2xex，则ℎ'(x)=(xlnx+1)∙2−xex，又因为（1）中的f(x)=xlnx的最小值即为极小值−1e，∴xlnx+1>0,从而列表如下：……（6分）x0,222,+∞ℎ'(x)+0−ℎ(x)↑极大值h(2)↓e2≈7.39>7，e3≈20.09>16,………（7分）从而ℎ(x)max=ℎ(2)=4ln2+4e2=ln16+4e2φ4，解得a3ln3+62≤a<4ln4+123……（12分）