湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题答案

2023-11-12 · U1 上传 · 4页 · 29.8 K

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考数学答案1.B2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C9.ABD 10.ACD 11.AB12.BC 13.1614.π15.83,4 16t−e≤t<0或t=1e12.解法一:f'(x)=−3x2+4x−3,设切点为(x0,−x03+2x02−3x0), 则切线方程为y+x03−2x02+3x0=(−3x02+4x0−3)(x−x0), 将x=−2,y=m代入得,m=2x03+4x02−8x0+6, 令g(x)=2x3+4x2−8x+6,则g'(x)=6x2+8x−8=2(x+2)(3x−2), ∴x>23或x<−2时,g'(x)>0,当−21时,先求?的值,有一个交点时,由题意可知切点在直线y=x上,设切点横坐标为x0,由导数几何意义可知1x0∙lna=ax0∙lna=1,∴ax0=e,lna=1e,a=e1e;(2)由etx=1tlnx,可得etx=logetx,令et=a,则logax=ax(00,∴函数f(x)在R上单调递增……………(8分)用单调性定义证明的同样给分。(3)设A=yy=g(x1),x1∈0,1,B=yy=3f(x2),x2∈0,1,有条件可知,A⊆B……………(9分)由(2)问可知,y=3f(x2)在x2∈0,1时单调递增,∴B=0,1,……………(10分)又∵A=b,12+b,∴b≥012+b≤1,,∴0≤b≤12……………(12分)解:(1)sin 40°(3−tan 10°) =sin 40°(3−sin10°cos10°)……………(1分)=sin 40°(3cos10°−sin10°cos10°)=sin 40°2sin(60°−10°)cos10°=sin 40°2cos40°cos10°=sin80°cos10°=1……………(6分)(2)方法一:sin210°+cos240°+sin10°cos40°=1−cos20°2+1+cos80°2+−sin30°+sin50°2……(8分)=1−14+cos80°−cos 20°+sin50°2=34+cos80°−cos 20°+sin50°2=34+cos(50°+30°)−cos(50°−30°)+sin50°2=34+0=34………(12分)方法二:构造对偶式设m=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,n=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,则……(8分)m+n=2+sin50°,n−m=cos 20°−cos80°+sin30°,则2m=2−12+sin50°−cos 20°+cos80°=32,∴m=34………(12分)方法三:构造三角形,令外接圆半径为12,则由正弦定理可得asin10°=bsin50°=csin120°=2R=2×12=1,………(8分)则a=sin10°,b=cos40°=sin50°,c=sin120°,再由余弦定理,c2=a2+b2−2abcosC=sin210°+sin250°−2sin10°sin50°cos120°=sin2120°=34……(12分)解:(1)记事件A=求恰有一个黑球,则由古典概型公式可得PA=C81C73C154=839;………(3分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,………(4分)PX=0=C84C154=239,PX=1=C83C71C154=56195,PX=2=C82C72C154=84195,PX=3=C81C73C154=839,PX=4=C74C154=139,X的分布列如下:………(7分)(概率对了一个给1分,不超过7分,此处没有约分的不扣分)X01234P2395619584195839139E(X)=0×239+1×56195+2×84195+3×839+4×139=364195=2815………(9分)(此处没有约分的扣1分)(3)记事件B=取出4个球同色,求全为红球,则由条件概率公式有PB=C74C84+C74=13.………(12分)BDCA21.解:(1)在∆BCD中,S∆BCD=12BD∙BC∙sin∠DBC=23,且BD=2,∠DBC=π3,可得BC=4(2分)在∆BCD中,由余弦定理有,DC2=DB2+BC2−2DB∙BC∙cos∠DBC=12,∴DC=23……(5分)(2)记∠DCA=θ,θ∈0,π2,则∠BDC=2θ,,∠DAC=θ,∠BCD=2π3−2θ,∠ADC=π−2θ,……(6分)记AD=DC=m,BC=a,在∆BCD中,由正弦定理有BCsin∠BDC=BDsin∠BCD=CDsin∠DBC,∴asin2θ=2sin(2π3−2θ)=msinπ3……(7分)在∆ACD中,由正弦定理有ACsin∠ADC=ADsin∠ACD,∴23sin2θ==msinϑ,……(8分)∴m∙sin2θ=23sinθ=a∙sinπ3,∴a=4sinθ,即有4sinθsin2θ=2sin(2π3−2θ)=2cosθ,……(9分)∴sin(2π3−2θ)=cosθ=sinπ2∓θ,∴∠DCA=θ=π6或π18……(12分)(掉了一个解扣2分)22.解:(1)∵f(x)=xlnx,x>0∴f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得x=1e,列表如下:……………(1分)x0,1e1e1e,+∞f'(x)−0+f(x)↓极小值−1e↑………(2分)∴f(x)的单调递减区间为0,1e,单调递增区间为1e,+∞,极小值为−1e,无极大值。(“无极大值”掉了的扣1分)……(4分)(2)解法1:要证ex−2x>x∙xlnx,只需证ex−2xx2>lnx(对数靠边走)………(5分)设g(x)=ex−2xx2−lnx,则g'(x)=(ex−x)∙x−2x3,易知ex≥x+1>x,令g'(x)=0,可得x=2,列表如下:……(6分)x0,222,+∞g'(x)−0+g(x)↓极小值g(2)↑∴g(x)min=g(2)=e2−44−ln2==e2−(4+4ln2)4,由于e2≈7.39>7,e3≈20.09>16,…(7分)4+4ln2=4+ln16<4+lne3=7,……(8分)∴e2−(4+4ln2)>0,从而不等式得证。……(9分)解法2:要证ex−2x>x∙xlnx,只需证x2lnx+2xex<1,(指数找朋友)………(5分)设ℎ(x)=x2lnx+2xex,则ℎ'(x)=(xlnx+1)∙2−xex,又因为(1)中的f(x)=xlnx的最小值即为极小值−1e,∴xlnx+1>0,从而列表如下:……(6分)x0,222,+∞ℎ'(x)+0−ℎ(x)↑极大值h(2)↓e2≈7.39>7,e3≈20.09>16,………(7分)从而ℎ(x)max=ℎ(2)=4ln2+4e2=ln16+4e2φ4,解得a3ln3+62≤a<4ln4+123……(12分)

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