武汉市2024届九所重点中学第一次联考数学试卷武汉市第一中学命制2023.10.14本试卷共4页,22小题,全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合Axx=={|cos0},Byyy=−−{|8200}2,则AB的元素个数为A.4B.5C.2D.02.与(2,3)−垂直的单位向量是322310151510A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)555555553.以下满足|(1)zz|3+的虚数z是5(12i)+22A.−3iB.−C.D.1+2i21i−4.多项式(1)ax+6的x2项系数比x3项系数多35,则其各项系数之和为A.1B.243C.64D.05.在集合{2,3,4,5,6}的所有非空真子集中任选一个,其元素之和为偶数的概率是3718A.B.C.D.515215数学试卷第1页(共4页){#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}6.如图,三棱台ABCA−BC111中,BCAC=,现在以下四项中选择一个,可以证明AA11B=B的条件有①CC1A⊥B;②A1111BAC=;③=CCACCB11;④=AACBBC11;A.4个B.3个C.2个D.1个7.抛物线Cy:3x2=的焦点为F,顶点为O,其上两点A,B满足OA⊥OB;过O点作OCAB⊥于C,则CF的取值范围是339393A.(0,3B.,C.,D.,3244442sin80cos208.求值:=14cos+20sin502323A.B.C.1D.322二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.将三角函数h()3xxxxcossincos=−2经如下变换后得到yx=sin的图象:①将图象向右平移个单位;②将图象向左平移个单位;33③将图象向下平移个单位;④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍;2以下变换顺序正确的是A.④①③B.④③①①C.②②③④D.③①④10.等比数列{}an和函数fx()满足a1=1,f()n=an,则以下数列也为等比数列的是nA.bfn=(2)B.bf=()C.b=[f(n)]2D.bfn=()2nn2nn11.如图,在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时,可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆,且这个圆在以O为球心,半径很大的球面上.白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分.在点O处立一根杆OA(A也可看作球心),它在地面上形成日影OA',且PAA,,'三点共线,则白天时点A'在地面上运动的轨迹可能是A.一个抛物线B.一条直线C.一个半椭圆D.双曲线的一支数学试卷第2页(共4页){#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}axxx−sin0,6)12.已知fx()=,若它的图象恒在x轴上方,则3(1cos)6,7axx−A.fx()的单调递增区间为(0,6)B.方程fx()m=可能有三个实数根C.若函数在xx=0处的切线经过原点,则xx00=tanD.过图象上任何一点,最多可作函数的8条切线三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程:__________.14.平面直角坐标系中有一直线ly:k(0)xk=,用斜二测画法画出平面的直观图,在直观图中直线l恰为x轴和y轴的角平分线,则k=__________.15.已知矩形ABCD和另一点E,AB=4,AD=9,且DEDC=(0),连接AE交直线BC于点F,若BEF的面积为6,则=__________.16.一张圆形餐桌前有nn(3)个人,每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜.现规定每人只能在相邻两人或餐桌中心的三道菜中随机夹取一道菜,每个人都各夹过一次菜后,记未被夹取过的菜肴数为Xn,则EX()3=__________,EX()n的通项公式为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.17.(10分)等差数列{}an中,a2=−1,的前n项和为Sn,且SS95=5,(1)求数列{}an的通项公式;2Snn(2)证明:对任意正数k,均存在n(,3)nn+使得成立.ankn+18.(12分)已知函数f(xxxx)369=−−+32,(1)求fx()的极值;(2)作在xx=0处的切线交的图象于另一点(,)xb1,若|xx01−=|6,求l的斜率.19.(12分)数学试卷第3页(共4页){#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=;AB边上有一点D(不6与三角形的顶点重合)满足2bcoAsCD=c,(1)求C的取值范围;(2)若CDc=,求A.20.(12分)在能源和环保的压力下,新能源汽车将成为未来的发展方向.某市大力推广新能源汽车,成果显著,该市近6年的新能源汽车保有量数据如下表,年份代号x123456保有量y(万辆)11.82.745.99.1(1)记xii==(1,2,3,4,5,6)时对应的汽车保有量为yi,其相较去年的增长量为zi(i2),分析发现变量z和y有线性关系,试建立变量z和y的回归方程(精确到0.01);(2)根据(1)问的结果分析:①ycxd=+;②y=+cedxf;③y=+cx2d当中哪一个更适合作为汽车保有量y与年份x的回归方程类型?判断并说明理由.附:对于一组数据(uv,)11,(uv,)22,……,(uv,)nn,其回归直线vabu=+的斜率和n()()uuvvii−−截距的最小二乘估计分别为i=1,.b=navbu=−2()uui−i=121.(12分)空间中的两平行平面与之间的距离为4,边长为2的等边三角形ABC,A111BC分别在平面,中,且它们中心的连线垂直于平面;若AABBCC111==恒成立,(1)证明:AA1,BB1,CC1两两夹角相等;(2)当四面体ACC11A的体积最大时,求(1)问中夹角的余弦值.22.(12分)xy225232双曲线C:−=1(a0,b0)经过点P(,),且点P到双曲线C两渐近线ab2222的距离之比为4:1,(1)求的方程;(2)过点P作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线于另一点Q,作直线ll21交的渐近线于两点A,B(A在第一象限),使AB=PQ,记和直线QB的斜率分别为kk12,,(i)证明:kk12是定值;(ii)若四边形ABQP的面积为5,求kk12−.数学试卷第4页(共4页){#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}
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