2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（6）

2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（6）1.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（）A.抛物线的方程是 B.抛物线的准线方程是 C.的最小值是 D.线段AB的最小值是6 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则()A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.D.直线与双曲线有两个公共点3.已知分别是双曲线的左、右焦点,过且倾斜角为α的直线交双曲线C的右支于两点,I为的内心,O为坐标原点,则下列结论成立的是()A.若C的离心率,则α的取值范围是B.若且,则C的离心率C.若C的离心率,则D.过作,垂足为P,若I的横坐标为m,则4.已知双曲线C的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则下列说法正确的是()A. B.双曲线的离心率 C.双曲线的渐近线方程为 D.原点O在以为圆心，为半径的圆上5.在平面直角坐标系xOy中，下列结论正确的是()A.椭圆上一点P到右焦点的距离的最小值为2；B.若动圆M过点且与直线相切，则圆心M的轨迹是抛物线；C.方程表示的曲线是双曲线的右支；D.若椭圆的离心率为，则实数.6.已知抛物线的焦点为F，若为抛物线C上一点，直线MF的斜率为，且以M为圆心的圆与C的准线相切于点Q，则下列说法正确的是()A.抛物线C的准线方程为B.直线MF与抛物线C相交所得的弦长为15C.外接圆的半径为4D.若抛物线C上两点之间的距离为8，则该线段的中点到y轴距离的最小值为17.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动点，以下说法正确的是()A.当为正三角形时，p的值为2B.存在点M，使得C.若，则D.若的最小值为，则或128.已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，则下列命题正确的是()A.若，则B.若P，B，F三点共线，则C.若，则D.对于任意直线m，都有9.已知方程，则()A.当时，方程表示椭圆 B.当时，方程表示双曲线C.当时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线10.抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有一抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线对称轴的方向射向抛物线上的点P并反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，且直线PQ的斜率为，则()A.抛物线的方程为 B.点Q的横坐标为C. D.答案以及解析1.答案：BC解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；易知直线l的斜率存在，，设，，直线l的方程为由消去y并整理，得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，故D错误；圆Q的半径，在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确，故选BC.2.答案：ABD解析：依题意得，，又知，，.又，且，在中，是最小的边，，，整理得，即，，，.双曲线的离心率，A正确.双曲线的渐近线方程为，B正确.根据前面的分析可知，为直角三角形，且，若，则.又知，，，C不正确.直线，即，其斜率为，，直线与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.3.答案：BCD解析：对于选项A,当时,双曲线的渐近线方程为,其倾斜角分别为,因为过且倾斜角为α的直线与双曲线的右支交于两点,所以α的取值范围是,故A错误.对于选项B,由双曲线的定义可知,又,故,由,得,所以,连接,则,由得,在中,由余弦定理得,得,故,故B正确.对于选项C,因为C的离心率,所以,设的内切圆I的半径为r,则,故C正确.对于选项D,设,因为,为的平分线,所以为等腰三角形,,则,在中,为中位线.所以.设的内切圆I与相切的切点分别为,则,又,所以,,故D正确.故选BCD.4.答案：ABC解析：如图，设，则，所以，，，所以，所以，故A正确；因为，，所以在中，，在中，，即，所以，所以，故B正确；由得，则，所以渐近线方程为，故C正确；若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，则，与B矛盾，不成立，故D错误.故选ABC.5.答案：ABC解析：椭圆上一点P到右焦点的距离的最小值为，故A正确；由拋物线定义可知B正确；方程表示的曲线是以，为焦点，的双曲线的右支，故C正确；若椭圆的离心率为，则或，解得或，故D错误.故选ABC.6.答案：ACD解析：过点M作MB垂直于x轴，垂足为B，，直线MF的倾斜角为120°，，在中，，，又由抛物线的定义可得，，解得，抛物线C的方程为，抛物线C的准线方程为，故A正确；易知直线MF的方程为，代入抛物线C的方程，得，解得或，直线MF与抛物线C相交所得弦长为，选项B不正确；易得，，，，，设外接圆的半径为r，根据正弦定理可得，，选项C正确；设抛物线C上的两点分别为，，则，当且仅当G，H，F三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，，所以，即，所以线段GH的中点到y轴的距离，选项D正确.故选ACD.7.答案：AC解析：对于A，当为正三角形时，，如图所示，设抛物线C的准线交x轴于点N，则由抛物线的定义知AM与准线垂直，在正三角形MAF中，，所以，所以，而，所以，故A正确；对于B，假设存在点M，使得，即，则点A，F重合，与已知条件矛盾，所以B不正确；对于C，若，则，如图，过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点E，设准线交x轴于点B，由抛物线的定义可知，易知，则，即，解得，所以C正确；对于D，如图，作O关于抛物线C的准线的对称点，连接交准线于点M，过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点D，由对称性知，，由抛物线的定义可知，则，代入抛物线C的方程，得，所以，化简可得，解得或.当时，，所以不符合题意，所以，所以D不正确.故选AC.8.答案：BCD解析：本题考查抛物线的定义及其几何性质、直线与抛物线的位置关系.由已知条件可得，.由抛物线的对称性，不妨设直线m的方程为，，.依题意得，由消去y整理得，且，解得，由根与系数的关系，得，.对于A选项，方法一：因为直线BF的斜率为，且，所以，即.又，所以，解得（舍负），所以，所以，又，故，故A错误.方法二（反证法）：假设成立，则为等腰直角三角形，，所以.又，所以为等腰直角三角形，则点B在y轴上，这与已知条件显然矛盾，故，故A错误.对于B选项，易得，所以，.当P，B，F三点共线时，，所以，即.由得，解得，所以，故B正确.对于C选项，过B作，垂足为Q，由已知可得，所以.又，所以.由抛物线的定义，得，，因此，故C正确.对于D选项，因为，，所以.又，故成立，故D正确.故选BCD.9.答案：BD解析：当时，原方程整理得，若m，n同负，或，则方程不表示椭圆，A错误；当时，与异号，方程表示双曲线，B正确；当时，方程是，当时，方程无解，故C错误；无论m、n为何值，方程都不可能表示抛物线，D正确.故选BD.10.答案：ABC解析：由题意知，直线PQ经过焦点F，易知，所以，解得或（舍），所以抛物线的方程为，A正确；易知，所以点Q的横坐标为，B正确；直线PQ的斜率为，设直线PQ的倾斜角为，则，所以，所以，C正确；由选项B知，所以，D错误.故选ABC.