湖南省长沙市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．12．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（ ）A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×10113．（3分）下列计算正确的是（ ）A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A． B． C． D．7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）A．2π B．4π C．12π D．24π9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）A．20° B．30° C．45° D．60°10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30）nmile11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）A．2 B．4 C．5 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝ ．15．（3分）不等式组的解集是 ．16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．18．（3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣÷﹣2cos60°．20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．2019年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，所以比﹣3小的数是﹣5，故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（ ）A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数据15000000000用科学记数法表示为1.5×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．【解答】解：A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a3）2＝a6，故选项B符合题意；C、a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝80°，∴∠3＝100°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝100°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A． B． C． D．【分析】根据几何体的三视图判断即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．故选：D．【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之