2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题（答案）

绝密启用前★试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2M2,1,0,1,2Nxxx601.已知集合，，则MN（）A.2,1,0,1B.0,1,2C.2D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为Nxx2x60,23,，而M2,1,0,1,2，所以MN2．故选：C．方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式x2x60，只有2使不等式成立，所第1页/共28页学科网（北京）股份有限公司以MN2．故选：C．1i2.已知z，则zz（）22iA.iB.iC.0D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．1i1i1i2i11【详解】因为zi，所以zi，即zzi．22i21i1i422故选：A．3.已知向量a1,1,b1,1，若abab，则（）A.1B.1C.1D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为a1,1,b1,1，所以ab1,1，ab1,1，由abab可得，abab0，即11110，整理得：1．故选：D．xxa4.设函数fx2在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A.,2B.2,0C.0,2D.2,【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.第2页/共28页学科网（北京）股份有限公司xxa【详解】函数y2x在R上单调递增，而函数fx2在区间0,1上单调递减，aa2a则有函数yx(xa)(x)2在区间0,1上单调递减，因此1，解得a2，242所以a的取值范围是2,.故选：D22x2x25.设椭圆C:y1(a1),C:y1的离心率分别为e1,e2．若e3e，则a（）1a2242123A.B.2C.3D.63【答案】A【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.2【详解】由，得22，因此41a1，而，所以23e23e1e23e13a1a.4a23故选：A6.过点0,2与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角为，则sin（）15106A.1B.C.D.444【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k28k10，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.2【详解】方法一：因为x2y24x10，即x2y25，可得圆心C2,0，半径r5，过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，22因为PC22222，则PAPCr23，51036可得sinAPC,cosAPC，224224第3页/共28页学科网（北京）股份有限公司10615则sinAPBsin2APC2sinAPCcosAPC2，44422226101，cosAPBcos2APCcosAPCsinAPC0444即APB为钝角，15所以sinsinπAPBsinAPB；4法二：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，22可得PC22222，则PAPBPCr23，2222因为PAPB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB且ACBπAPB，则336cosAPB5510cosπAPB，1即3cosAPB55cosAPB，解得cosAPB0，41即APB为钝角，则coscosπAPBcosAPB，415且为锐角，所以sin1cos2；4方法三：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，若切线斜率不存在，则切线方程为y0，则圆心到切点的距离d2r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为ykx2，即kxy20，2k2则5，整理得k28k10，且644600k21设两切线斜率分别为k1,k2，则k1k28,k1k21，可得2，k1k2k1k24k1k2215k1k2sinsin所以tan15，即15，可得cos，1k1k2cos15sin2则sin2cos2sin21，15第4页/共28页学科网（北京）股份有限公司π15且0,，则sin0，解得sin.24故选：B.S7.记S为数列a的前n项和，设甲：a为等差数列；乙：{n}为等差数列，则（）nnnnA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：an为等差数列，设其首项为a1，公差为d，n(n1)Sn1ddSSd则Snad,nadna,n1n，n12n12212n1n2S因此{n}为等差数列，则甲是乙的充分条件；nSSSnS(n1)SnaS反之，乙：{n}为等差数列，即n1nn1nn1n为常数，设为t，nn1nn(n1)n(n1)naS即n1nt，则Snatn(n1)，有S(n1)atn(n1),n2，n(n1)nn1n1n两式相减得：annan1(n1)an2tn，即an1an2t，对n1也成立，第5页/共28页学科网（北京）股份有限公司因此an为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.n(n1)方法2，甲：a为等差数列，设数列a的首项a，公差为d，即Snad，nn1n12S(n1)ddS则nadna，因此{n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；n12212nSSSS反之，乙：{n}为等差数列，即n1nD,nS(n1)D，nn1nn1即SnnS1n(n1)D，Sn1(n1)S1(n1)(n2)D，当n2时，上两式相减得：SnSn1S12(n1)D，当n1时，上式成立，于是ana12(n1)D，又an1ana12nD[a12(n1)D]2D为常数，的因此an为等差数列，则甲是乙必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C118.已知sin,cossin，则cos22（）．367117A.B.C.D.9999【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()，再利用二倍角的余弦公式计算作答.111【详解】因为sin()sincoscossin，而cossin，因此sincos，3622则sin()sincoscossin，321所以cos(22)cos2()12sin2()12()2.39故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．第6页/共28页学科网（北京）股份有限公司（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,,x6的平均数为n，xxxxxxxxxx2xxxxxx则nm1234562345165234，6412因为没有确定2x1x6,x5x2x3x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得mn3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m1,n2；11例如1,2,2,2,2,2，可得m2,n；故A错误；6对于选项B：不妨设x1x2x3x4x5x6，xx可知x,x,x,x的中位数等于x,x,,x的中位数均为34，故B正确；23451262对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,,x6的波动性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,,x6的标准差，1例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n246810127，61222222105标准差s27476787107127，163第7页/共28页学科网（北京）股份有限公司14,6,8,10，则平均数m468107，412222标准差s4767871075，24105显然5，即s1s2；故C错误；3对于选项D：不妨设x1x2x3x4x5x6，则x6x1x5