2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 25页 · 354 K

2009年全国统一高考数学试卷理科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)=( )A.﹣2+4i B.﹣2﹣4i C.2+4i D.2﹣4i 2.(5分)设集合A={x||x|>3},B={x|<0},则A∩B=( )A.φ B.(3,4) C.(﹣2,1) D.(4,+∞) 3.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=( )A. B. C. D. 4.(5分)函数在点(1,1)处的切线方程为( )A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0 5.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( )A. B. C. D. 6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=( )A. B. C.5 D.25 7.(5分)设a=log3π,b=log2,c=log3,则( )A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 8.(5分)若将函数y=tan(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,则ω的最小值为( )A. B. C. D. 9.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D. 10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 11.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若=4,则C的离心率为( )A. B. C. D. 12.(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位( )A.南 B.北 C.西 D.下 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)4的展开式中x3y3的系数为 .14.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= .15.(5分)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 .16.(5分)求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上. 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A﹣C)+cosB=,b2=ac,求B.18.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A﹣BD﹣C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).(1)设bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.20.(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21.(12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:f(x2)>. 2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)=( )A.﹣2+4i B.﹣2﹣4i C.2+4i D.2﹣4i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母进行乘法运算,整理成最简形式,得到结果.【解答】解:原式=,故选:A.【点评】本题考查复数的乘除运算,是一个基础题,在近几年的高考题目中,复数的简单的运算题目是一个必考的问题,通常出现在试卷的前几个题目中. 2.(5分)设集合A={x||x|>3},B={x|<0},则A∩B=( )A.φ B.(3,4) C.(﹣2,1) D.(4,+∞) 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【分析】先化简集合A和B,再根据两个集合的交集的意义求解.【解答】解:A={x||x|>3}⇒{x|x>3或x<﹣3},B={x|<0}={x|1<x<4},∴A∩B=(3,4),故选:B.【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. 3.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=( )A. B. C. D. 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦,求得sinA和cosA的关系式,进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值.【解答】解:∵cotA=∴A为钝角,cosA<0排除A和B,再由cotA==,和sin2A+cos2A=1求得cosA=,故选:D.【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用.主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系. 4.(5分)函数在点(1,1)处的切线方程为( )A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】欲求切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:依题意得y′=,因此曲线在点(1,1)处的切线的斜率等于﹣1,相应的切线方程是y﹣1=﹣1×(x﹣1),即x+y﹣2=0,故选:B.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 5.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5G:空间角.【分析】由BA1∥CD1,知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值.【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,∴BA1∥CD1,∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,设AA1=2AB=2,则A1E=1,BE==,A1B==,∴cos∠A1BE===.∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=( )A. B. C.5 D.25 【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|=两边平方,变化为有模长和数量积的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可.【解答】解:∵|+|=,||=∴(+)2=2+2+2=50,得||=5故选:C.【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用. 7.(5分)设a=log3π,b=log2,c=log3,则( )A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解.当a>1时函数为增函数当0<a<1时函数为减函数,如果底a不相同时可利用1做为中介值.【解答】解:∵∵,故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性,这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值. 8.(5分)若将函数y=tan(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,则ω的最小值为( )A. B. C. D. 【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,比较系数,求出ω=6k+(k∈Z),然后求出ω的最小值.【解答】解:y=tan(ωx+),向右平移个单位可得:y=tan[ω(x﹣)+]=tan(ωx+)∴﹣ω+kπ=∴ω=k+(k∈Z),又∵ω>0∴ωmin=.故选:D.【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,待定系数法的应用,考查计算能力,是常考题. 9.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D. 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,进而可知,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率.【解答】解:设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=﹣2直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(﹣2,0)如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为,故选:D.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用. 10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 【考点】D5:组合及组合数公式.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据题意,分两步,①先求所有两人各选修2门的种数,②再求两人所选两门都相同与都不同的种数,进而由事件间的相互关系,分析可得答案.【解答】解:根据题意,分两步,①由题意可得,所有两人各选修2门的种数C42C42=36,②两人所选两门都相同的有为C42=6种,都不同的种数为C42=6,故选:C.【点评】本题考查组合公式的运用,解题时注意事件之间的关系,选用直接法或间接法. 11.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若=4,则C的离心率为( )A. B. C. D. 【考点】I3:直线的斜率;KA:双曲线的定义.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设双曲线的有准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角,进而推,由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|,进而根据,求得离心率.【解答】解:设双曲线的右准线为l,过A、B分

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