2008年上海高考数学真题（理科）试卷（原卷版）

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.得分评卷人一.填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解集是.2．若集合、满足，则实数=_____________.3．若复数满足（是虚数单位），则=_____________.4．若函数的反函数为（），则.5．若向量、满足，，且与的夹角为，则=__________.6．函数的最大值是.7．在平面直角坐标系中，从六个点：、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).8．设函数是定义在上的奇函数.若当时，，则满足的的取值范围是.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小，则的取值分别是.10．某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为、短轴长为的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.11．方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点()（=）均在直线的同侧，则实数的取值范围是.得分评卷人二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12.组合数恒等于[答]()(A).(B).(C).(D).13.给定空间中的直线及平面.条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的[答]()(A)充要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)既非充分又非必要条件.14.若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是[答]()(A)1.(B)2.(C).(D).15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），是该圆的四等分点.若点、点满足且，则称优于.如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧[答]()(A).(B).(C).(D).三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．得分评卷人16.（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，的中点.求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形.小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）.[解]得分评卷人18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．已知双曲线，是上的任意点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.[证明]（1）[解]（2）得分评卷人19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.[解]（1）（2）得分评卷人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设是平面直角坐标系中的点，是经过原点与点的直线.记是直线与抛物线的异于原点的交点.（1）已知.求点的坐标；（2）已知点在椭圆上，.求证：点落在双曲线上；（3）已知动点满足，.若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）得分评卷人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以为首项的数列满足：（1）当，时，求数列的通项公式；（2）当，时，试用表示数列前100项的和；（3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列,，，成等比数列当且仅当.[解]（1）（2）[证明]（3）