2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 15页 · 427.5 K

2014年全国统一高考数学试卷文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=( )A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 2.(5分)若tanα>0,则( )A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 3.(5分)设z=+i,则|z|=( )A. B. C. D.2 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=( )A.2 B. C. D.1 5.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )A. B. C. D. 7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )A. B. C. D. 10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=( )A.1 B.2 C.4 D.8 11.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣3 12.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 .15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 .16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN= m.三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【选修4-5:不等式选讲】24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=( )A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N={x|﹣1<x<1},故选:B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.(5分)若tanα>0,则( )A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 【考点】GC:三角函数值的符号.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.【解答】解:∵tanα>0,∴,则sin2α=2sinαcosα>0.故选:C.【点评】本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题. 3.(5分)设z=+i,则|z|=( )A. B. C. D.2 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先求z,再利用求模的公式求出|z|.【解答】解:z=+i=+i=.故|z|==.故选:B.【点评】本题考查复数代数形式的运算,属于容易题. 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=( )A.2 B. C. D.1 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由双曲线方程找出a,b,c,代入离心率,从而求出a.【解答】解:由题意,e===2,解得,a=1.故选:D.【点评】本题考查了双曲线的定义,属于基础题. 5.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )A. B. C. D. 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】利用向量加法的三角形法则,将,分解为+和+的形式,进而根据D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案.【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+=(+)+(+)=+=(+)=,故选:A.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键. 7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 【考点】H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.【解答】解:∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x,它的最小正周期为=π,②y=丨cosx丨的最小正周期为=π,③y=cos(2x+)的最小正周期为=π,④y=tan(2x﹣)的最小正周期为,故选:A.【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题. 8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项.【解答】解:根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体如图:几何体是三棱柱.故选:B.【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法,考查空间想象能力. 9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )A. B. C. D. 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=( )A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出.【解答】解:抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,x0>0.∴=x0+,解得x0=1.故选:A.【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式,属于基础题. 11.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣3 【考点】7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】5B:直线与圆.【分析】如图所示,当a≥1时,由,解得.当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,同理对a<1得出.【解答】解:如图所示,当a≥1时,由,解得,y=.∴.当直线z=x+ay经过A点时取得最小

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