2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 12页 · 380.5 K

2011年全国统一高考数学试卷理科)(大纲版)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数z=1+i,为z的共轭复数,则z•﹣z﹣1=( )A.﹣2i B.﹣i C.i D.2i 2.(5分)函数y=(x≥0)的反函数为( )A.y=(x∈R) B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0)3.(5分)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 4.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )A.8 B.7 C.6 D.5 5.(5分)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9 6.(5分)已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A. B. C. D.1 7.(5分)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 8.(5分)曲线y=e﹣2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.1 9.(5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 10.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x﹣4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )A. B. C. D. 11.(5分)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )A.7π B.9π C.11π D.13π 12.(5分)设向量,,满足||=||=1,=﹣,<﹣,﹣>=60°,则||的最大值等于( )A.2 B. C. D.1 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作答无效)13.(5分)的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为 .14.(5分)已知α∈(,π),sinα=,则tan2α= .15.(5分)已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|= .16.(5分)已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A﹣C=,a+c=b,求C.18.(12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小.20.(12分)设数列{an}满足a1=0且.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设,记,证明:Sn<1.21.(12分)已知O为坐标原点,F为椭圆C:在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点,点P满足.(Ⅰ)证明:点P在C上;(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.22.(12分)(Ⅰ)设函数,证明:当x>0时,f(x)>0.(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p,证明:. 2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数z=1+i,为z的共轭复数,则z•﹣z﹣1=( )A.﹣2i B.﹣i C.i D.2i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】求出复数z的共轭复数,代入表达式,求解即可.【解答】解:=1﹣i,所以=(1+i)(1﹣i)﹣1﹣i﹣1=﹣i故选:B.【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,常考题型. 2.(5分)函数y=(x≥0)的反函数为( )A.y=(x∈R) B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0) 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式,再把x和y交换位置,注明反函数的定义域(即原函数的值域).【解答】解:∵y=(x≥0),∴x=,y≥0,故反函数为y=(x≥0).故选:B.【点评】本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的定义域是原函数的值域. 3.(5分)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有【专题】5L:简易逻辑.【分析】利用不等式的性质得到a>b+1⇒a>b;反之,通过举反例判断出a>b推不出a>b+1;利用条件的定义判断出选项.【解答】解:a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选:A.【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法. 4.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )A.8 B.7 C.6 D.5 【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2,Sk,将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解.【解答】解:根据题意:Sk+2=(k+2)2,Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24转化为:(k+2)2﹣k2=24∴k=5故选:D.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用,同时还考查了方程思想,属中档题. 5.(5分)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9 【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,容易得到结果.【解答】解:f(x)的周期T=,函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以,k∈Z.令k=1,可得ω=6.故选:C.【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技术能力,常考题型. 6.(5分)已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A. B. C. D.1 【考点】MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;13:作图题;35:转化思想.【分析】画出图形,由题意通过等体积法,求出三棱锥的体积,然后求出D到平面ABC的距离.【解答】解:由题意画出图形如图:直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h,所以AD=,CD=,BC=由VB﹣ACD=VD﹣ABC可知所以,h=故选C.【点评】本题是基础题,考查点到平面的距离,考查转化思想的应用,等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一,考查计算能力. 7.(5分)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 【考点】D3:计数原理的应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分类计数问题,一是3本集邮册一本画册,让一个人拿一本画册有4种,另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42种,根据分类计数原理得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,一是3本集邮册一本画册,从4位朋友选一个有4种,另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42=6种,根据分类计数原理知共10种,故选:B.【点评】本题考查分类计数问题,是一个基础题,这种题目可以出现在选择或填空中,也可以出现在解答题目的一部分中. 8.(5分)曲线y=e﹣2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.1 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式,然后求出与y轴和直线y=x的交点,根据三角形的面积公式求出所求即可.【解答】解:∵y=e﹣2x+1∴y'=(﹣2)e﹣2x∴y'|x=0=(﹣2)e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点(0,2)处的切线方程为y﹣2=﹣2(x﹣0)即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1,令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选:A.【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关问题,属于基础题. 9.(5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 【考点】3I:奇函数、偶函数;3Q:函数的周期性.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由题意得=f(﹣)=﹣f(),代入已知条件进行运算.【解答】解:∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),∴=f(﹣)=﹣f()=﹣2×(1﹣)=﹣,故选:A.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值. 10.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x﹣4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )A. B. C. D. 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据已知中抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x﹣4与C交于A,B两点,我们可求出点A,B,F的坐标,进而求出向量,的坐标,进而利用求向量夹角余弦值的方法,即可得到答案.【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,∴F点的坐标为(1,0)又∵直线y=2x﹣4与C交于A,B两点,则A,B两点坐标分别为(1,﹣2)(4,4),则=(0,﹣2),=(3,4),则cos∠AFB===﹣,故选:D.【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧. 11.(5分)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )A.7π B.9π C.11π D.13π 【考点】MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】先求出圆M的半径,然后根据勾股定理求出求出OM的长,找出二面角的平面角,从而

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