云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三上学期开学适应性考试数学试卷（含答案）

玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三上学期开学适应性考试数学考试范围：高考范围；考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共8小题，共计40分）1.已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（）A.8B.9C.10D.1003.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A.平均数B.中位数C.极差D.众数4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.5.是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（）A.B.C.D.6.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（）A.B.C.D.7.若为假命题，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（）A.B.C.D.二､多选题（每小题6分，共3小题，选对得部分分，选错得0分，共计18分）9.在的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为310.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（）A.椭圆的离心率为B.若，则C.直线的斜率与直线的斜率之积等于D.符合条件的点有且仅有2个11.已知函数的定义域为，则（）A.B.函数是奇函数C.D.的一个周期为3第II卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共3小题，共计15分）12.某省的高中数学学业水平考试，分为五个等级，其中等级的比例为.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为，李同学得分85分等级为.请写出一个符合条件的值__________.（参考数据：若，则，13.有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是__________.14.已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________.四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共计77分）15.已知等差数列，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和.16.2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到之间的五组数据如下表：12345911142620其中，（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.（1）求相关系数的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益与科技创新和市场开发的总投入的线性相关程度；（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：满意不满意总计男451055女252045总计7030100是否有的把握认为消费者满意程度与性别有关？（3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：①；②，其中.临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考数据：.17.如图所示，是的直径，点是上异于平面分别为，的中点，（1）求证：平面；（2）若，二面角的正弦值为，求.18.已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的两点，问是否存在实数，使得以为直径的圆经过双曲线的左焦点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；（2）已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0；（ii）求的取值范围.玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三上学期开学适应性考试数学答案考试范围：高考范围；考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共8小题，共计40分）1.【答案】C【详解】，故当时，易求；当时，由得，或2.综上得：2.【答案】C【详解】，所以3.【答案】C【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极差一定不变，众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.4.【答案】A【详解】由解析式知：，时递增；或时递减；结合各选项易知：A符合要求.5.【答案】C【详解】如图，，知两点关于轴对称，设，解得，.6.【答案】B【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以，设，由空间向量基本定理得，解得所以以为基底时的坐标为.7.【答案】C【详解】由题意得该命题的否定为真命题，即为真命题，即，令，因为，则，则存在，使得成立，令，令，则（负舍），则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，且，则，则.8.【答案】B【详解】由可得：函数的定义域为，所以函数在上单调递增.令.因为关于的方程有两个不等实根，则关于的方程有两个不等实根.作出函数的图象，如图所示：所以结合图形可知.由可得：，解得：，即有.设，则.令，得：；令，得：，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.二､多选题（每小题6分，共3小题，选对得部分分，选错得0分，共计18分）9.【答案】AC【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A正确；根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误，令，故C正确；为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.10.【答案】AC【详解】A选项，，因为即，解得，所以离心率，故A正确；B选项，若，连接，在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，所以，又由，解得，所以，故B错误；C选项，设则，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以，从而，所以，故C正确；D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误.11.【答案】AC【详解】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，C选项正确；令，则，所以，所以的一个周期为选D项错误.第II卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共3小题，共计15分）12.【答案】7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）【详解】由题意可知，，解得.故答案为：7（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）.13.【答案】【详解】设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品，，所以.所以任取1件产品的概率为0.026.14.【答案】【详解】由图象可得，解得，所以，由，由图，即，由，得.故，在中，，，即，设角的对边为，由，则，，当且仅当时等号成立.，所以面积最大值为.四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共计77分）15.【答案】（1）或（2）【详解】解：（1）①成等比数列，化简得，若若②，由①②可得，所以数列的通项公式是或（2）由（1）得16.【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益与科技创新和市场开发的总投入具有较强的相关性.（2）有；（3）分布列见解析，【详解】（1）由题意可得，，，.科技创新和市场开发后的收益与科技创新和市场开发的总投入具有较强的相关性.（2）由题意：满意不满意总计男451055女252045总计7030100，有的把握认为消费者满意程度与性别有关.（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人由题意可知，的可能取值为，，的分布列为：01234.17.【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：因为平面平面.所以，因为是的直径，知，因为，且平面，所以平面，由分别是的中点，所以，所以平面.（2）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，且，所以，易知平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则则，即，取，得，则，因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，所以，化简得，又因为，所以，解得：，即，所以，即.18.【答案】（1）.（2）.【详解】试题分析：（1），原点到直线的距离，..故所求双曲线方程为.（2）把代入中消去，整理得.设，则，因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以，可得把代入，解得：解，得满足19.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）.【详解】（1）证明：因为方程有三个根，所以方程即为，变形为，比较两个方程可得.（2）（i）证明：有两个零点，有一个二重根，一个一重根，且由（1）可得，由可得.由可得.联立上两式可得，解得，又，综上.（ii）解：由（i）可得，.令，则，，当时，，在上单调递增，，.