景德镇市2024届高三第三次质检试题数学(理科)参考答案第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.12345678DACACDAB8.解:不妨假设六位爸爸已经站好了位置,只需要考虑小孩找到各自的爸爸,则其为定序问C31题,故不需要插队的概率6.P0=6=A636二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,满分18分.91011BDACDABDx2y211.解:对于A,设AB:yxm,与椭圆1联立得:a2b2(a2b2)x22a2mxa2(m2b2)0,由0m2a2b2,又ba,∴m22a2,即m2a,故A正确;或考虑当椭圆的极限情况为圆时,m2a,故m2a;对于B,设右焦点为F,则ABF周长lAFBFAB4aABAFBF4a,等号当且仅当直线AB过点F时取到,故B正确;22对于C,设AB中点为M,由点差法可知kABkOMe1,即kMFkMOe1,yyb2x(xc)y2c2设M(x,y),则0,∵x(xc),xcxa2a2b24y2c2bc211∴,而ymax,故e,故C错误;b24a244a2162另解:易知M轨迹是以OF为长轴,离心率为e的椭圆,bbb∵,即该椭圆的短半轴长为,故,故错误;yMmaxc41C44e2ab2高三数学第1页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}对于D,显然直线AB存在斜率且不为零.m2设线段AB的中垂线所在的直线方程为ykxm,则S.2k1x2设直线AB的方程为yxn,联立:y21,k42428n2k4即1xx4n40,0n2,线段AB的中点坐标为k2kk24knk2n2,代入,即3kn.2,2ykxmmk4k4k24m29k4n29k9∴S.2k2k(k24)22(k24)89又仅当A、B关于原点对称时,S0,故S0,∴S0,,故D正确.8x0另解:设线段AB中点坐标为(x0,y0),易得kAB,4y04y0∴线段AB的中垂线方程为yy0(xx0).x03令x0,得y3y,令y0,得xx.04092∴.又x02,Sx0y0y1840x299∴xy0y21,∴S.显然S0,∴S0,,故D正确.004088故选ABD.第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分.1512.313.6,14.24123214.解:易知l必存在斜率,设l:yaxb,∵l不经过第四象限,∴a0,b0,高三数学第2页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),其中x1x2x0,44x,x,x为方程axbx2的三个根,构造函数g(x)x2axb,120xx(xx)(xx)(xx)xxx则g(x)120x2(xxx)x(xxxxxx)120,x120122010xx1x2x0a0∴x1x2x2x0x1x0b0,易知x1x20x0.x1x2x0444我们先将x0视作为定值,则由x1x2x2x0x1x0x0(x1x2)0,可得x1x22.x0x042又x1x2,∴x1x20x0.x0x0444于是的取值随着的增大而减小,故当时取最大值,x1x2x2x2x22x2x0x2x0x2x02(11x3)2(11x3)解得0.同理0.(x2)max2(x1)min2x0x012(11x3)41x3∴0,0.(x0x2)minx02(x2x1)max2x0x041x32(11x3)若x,x,x成等差,则有30,1202x02x0x0整理即33,解得3,61x0x02x012320423∴x0y0x0(x0)4x024123,即x0y0的最小值为24123.x0四、解答题:本大题共5小题,满分77分.z15.(本小题13分)解:()取中点,连接.1B1CGA1G,FGA1C1B11∵分别为中点,∴且EG,FB1C,BCGF∥BB1GFBB1,G2yA1又分别为中点,∴且CEAA1A1E∥BB1A1EBB1,F2Bx高三数学第3页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}∴且,GF∥A1EGFA1E故四边形是平行四边形,∴.分A1EFGEF∥A1G……………………………………………4而平面,面,分EFA1B1CA1GA1B1C……………………………………………………5∴平面.分EF//A1B1C……………………………………………………………………………6(2)如图以A为坐标原点,AC,AA1分别为y,z轴建立空间直角坐标系,………………7分则(,,),∴.分A1001,B(3,1,0),B1(3,1,1),C(0,2,0)A1B(3,1,1)……………………8ABn3xy0设平面的法向量为,则11,A1B1Cn(x,y,z)A1Cn2yz0令x1,得y3,z23,n(1,3,23).………………………………10分15∴cosAB,n.………………………………………………………………………11分110即直线与平面所成角的正弦值是15.分A1BA1B1C………………………………………131016.(本小题15分)2nadbc100解:(1)K2==9.0916.635,……………………5分abcdacbd11∴有99%的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关;…………………………………………6分(2)根据贝叶斯公式可知三人中有且仅有1人选择A路线的条件下该人为甲的概率为22p13p,P222243pp121p1333p11∴,解得:p.………………………………………………………………8分43p52高三数学第4页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}由题意可知,X的取值为0,1,2,3.………………………………………………………9分2121P(X0)11;…………………………………………………………10分23182122125P(X1)1211;………………………………………11分23323182122214P(X2)211;…………………………………………12分2333292122P(X3).……………………………………………………………………13分239∴X的分布列为X01231542P181899……………………………………………………………………………………………………14分11X的数学期望是EX.……………………………………………………………………15分617.(本小题15分)811a2a2b2解:(1)由题意可知b1,…………………………………………4分12c152c5x2∴双曲线的标准方程是y21.………………………………………………………5分4高三数学第5页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}3(2)依题意直线l斜率不为零,设l:xty4,A(x,y),B(x,y),易得P(2,0),E(1,),1122t2x2y122将直线l与进行联立并整理得:4(t4)y8ty120,其中t2,xty48tyy12t24根据韦达定理可知,16(t212)0.……………………………8分12yy12t24x2t设直线PA:x1y2,直线CD:xy4,y13x12xy2y1223y1两者联立,得:yC,…………10分tx12tty12tty3xy413y13y133y2同理yD,……………………………………………………………………………11分ty23128t32t232∴3y13y232ty1y23(y1y2)t4t4,yCyD0ty13ty23(ty13)(ty23)(2ty13)(2ty23)……………………………………………………………………………………………………14分即线段CD的中点是定点M.…………………………………………………………………15分18.(本小题17分)解:(1)当be时,g(x)exex,则g(x)exe,令g(x)0x1,∴函数g(x)在(,1)上单调递减,g(x)0x1,∴函数g(x)在(1,)上单调递增,故当x1时,g(x)取极小值g(1)0.……………………………………………………4分高三数学第6页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEAMMAABCQFABAA=}#}xxxxxxx22222(2)①令f(x)eaxeaxeaxe2ae2a0,22x换元t,b2a(0,e),即etbt0或etbt0.211构造函数h(t)etbt,显然h(t)单调递增,且h(0)10,h()eb10,b∴方程etbt0必定存在一负根.……………………………………………………………6分对于函数g(t)etbt,当t0时g(t)etbt0,当t0时,g(t)etbtetetg(1)0∴g(t)0恒成立,∴方程etbt0无根.e2∴当实数a0,时,函数f(x)有且仅有一个零点.…………………………………10分4【注:若解法中涉及到极限问题作答扣2分.】②由上可知x00.……………………………………………………………………………11分构造函数F(u)f(x0u)f(x0u),根据对称性不妨假设u0,若F(u)0存在唯一正根u0,则x1x0u0,x2x0u0.x0ux0u22x0uu22∴F(u)eea(x0u)(x0u)e(ee)2a(x0u)uu2uu2222222ax0(ee)2a(x0u)ax0(ee)2uuuuu2222.ax0(ee)2ux0(ee)2uuu∵a0,u0,x00,∴22,………………………………………13分x0(ee)2u0uuuuu令F(u)0,即x(e2e2)2ux(e2e2)220.002u令t0,构造函数(t)x(etet)22t,(t)x(etet)22,200∵(0)0,且显然(t)在(0,)上单调递减,高三数学第7页共10页{#{QQABLQQUogCAApBAABgCAQGyCEKQkBECAIoOQEA
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