2023—2024学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学参考答案一、1.D2.C3.B.4.A5.A6.B7.D8.D二、9.AC10.ACD11.ABC三12.x=1或3x-4y+5=013.n2-8n+3214.960四、15解：（1）A为三角形内角，cosA=59214∴sinA=……………………………………………………………………………2分9由正弦定理sinA=asinCc214229=sinC37sinC=…………………………………………………………………………………5分39+c2-8c22229（2）b=3，由余弦定理：cosA=b+c-a==5……………………………7分2bc6c9c=27或c=3………………………………………………………………………………9分当c=3时214S=1bcsinA=1×3×3×=14………………………………………………11分△ABC229当c=27时214S=1bcsinA=1×3×27×=914……………………………………………13分△ABC22916.解：（1）连接CA交BD于H，连接GH.EFGDCAHB因为底面ABCD是正方形，所以H是AC中点，在△ACF中，G是CF中点，所以HG是△ACF的中位线，所以HG//AF……………………………………………3分又DH//EF，DH⋂HG=H，EF⋂AF=F，所以平面DHG//平面AEF.又DG⊂平面DHG，所以DG//平面AEF………………………………………………6分高三数学（二模答）—1（2）设O为BC中点，连接FO，因为△BCF是等边三角形，所以FO⊥BC.因为AB⊥CF，AB⊥BC，CF⋂BC=C，所以AB⊥平面BCF.又FO⊂平面BCF，所以AB⊥FO，又AB⋂BC=B，所以FO⊥平面ABCD.………9分如图所示，以O为坐标原点，OB,HO,OF为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(-1,0,0),A(1,-2,0),F(0,0,3),B(1,0,0),D(-1,-2,0)EzFGDCHAOyBx又DE=BF=(-1,0,3)，所以E=(-2,-2,3)…………………………………………10分ìn∙AE=-3x+3z=0设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则íîn∙AF=-x+2y+3z=0令x=1得，平面AEF的法向量n=(1,-1,3).…………………………………………12分又CD=(0,-2,0)，设直线CD与平面AEF所成角为θ，则|n∙CD||2|5sinθ=|cos|===.|n|∙|CD|2555即直线CD与平面AEF所成角的正弦值为.5……………………………………………………………………………………………15分17.解：（1）令sinx=t,t∈(sin1,1]g(t)=t-lntg′(t)=1-1=t-1≤0tt∴g(t)在(sin1,1]上单调递减……………………………………………………………3分∴g(t)≥g(1)=1-ln1=1∴f(x)在(1,2)上的最小值为1……………………………………………………………6分（2）由（1）可知f(x)=sinx-ln(sinx)≥1sinx≥1+ln(sinx)…………………………………………………………………………8分又sinx>sin1>sinπ=1>162e∴ln(sinx)>ln1=-1e1+ln(sinx)>0∴sinx≥1+ln(sinx)>0①………………………………………………………………10分x∈(1,2)时，h(x)=x-sinxh′(x)=1-cosx≥0高三数学（二模答）—2∴h(x)在(1,2)上单调递增h(x)>h(1)=1-sin1>0∴x>sinx∴ex>esinx>0②…………………………………………………………………………12分由不等式性质将①，②两式相乘有：sinx∙ex>esinx(1+ln(sinx))即sinx∙ex-sinx-ln(sinx)>1成立…………………………………………………………15分18.解：设方程xy=1上任意一点D(x,1),E(2,2),F(-2,-2)，则x…………1分||DE|-|DF||=|(x-2)2+(1-2)-(x+2)2+(1+2)2|xx=|x2+1-22(x+1)+4-x2+1+22(x+1)+4|x2xx2x=|(x+1-2)2-(x+1+2)2|=||(x+1-2)|-|(x+1+2)||………………………3分xxxx当x>0时，x+1≥2x||1||1||则||x+-2|-|x++2||||x||x|||11|=|x+-2-x--2|=22…………………………………………………………4分|xx|当x<0时，x+1≤-2x||1||1||则||x+-2|-|x++2||||x||x|||11|=|-x-+2+x++2|=22<4=|EF||xx|根据双曲线得定义得，方程xy=1的图像是双曲线……………………………………5分ì32ïx0=x-yï32y（2）由已知得x0y0=1，将í，代入x0y0=1得C1方程为x-=1………8分33ïy=x+yî03æ3ö（3）显然直线l不与y轴垂直，故可设其方程为：x=my+tçm≠±÷，è3ø双曲线C的渐近线为y=±3xìx=my+t3t3tt联立í解得：y=，所以yM=，xM=………………9分îy=3x1-3m1-3m1-3mìx=my+t3t3tt联立í解得：y=-，所以yN=-，xN=……………10分îy=-3x1+3m1+3m1+3m因为MP=PN，故P是M，N的中点，所以点P的横，纵坐标为x=1(x+x)=tP2MN1-3m2y=1(y+y)=3mt………………………………………11分P2MN1-3m222ætö1æ3mtö2222点P在双曲线C上，即ç÷-ç÷=1，得t(1-3m)=(1-3m)1è1-3m2ø3è1-3m2ø因1-3m2≠0，所以t2=1-3m2…………………………………………………………13分高三数学（二模答）—3显然直线l与x轴的交点为(t,0)，|||2|11|3tæ3tö||3t|所以S△MON=∙|t|∙|yM-yN|=∙|t|∙|-ç-÷|=|2|，………………15分22|1-3mè1+3mø||1-3m|22将t=1-3m代入可得S△MON=3.……………………………………………………17分19.解：（1）依题意，k100-kCMCNX1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=100,k∈N,0≤k≤100.…………2分CM+NX101……99100010019999110004CMCNCMCNCMCNCMCN……分P100100……100100CM+NCM+NCM+NCM+N（2）（ⅰ）由题可知Xi(i=1,2,⋯,20)均服从完全相同的超几何分布，所以E(Xi)=E(X1)202020ˉ1111E(X)=E(∑Xi)=E(∑Xi)=∑E(Xi)=×20E(X1)=E(X1)，……………………6分20i=120i=120i=120202020ˉ11111D(X)=D(∑Xi)=2D(∑Xi)=2∑D(Xi)=2×20D(X1)=D(X1)，20i=120i=120i=12020故E(Xˉ)=E(X)，D(Xˉ)=1D(X)…………………………………………………………8分1201（ⅱ）由（ⅰ）可知Xˉ的均值E(Xˉ)=E(X)=100M．………………………………………………………………………9分1M+N由公式得X1的方差100MN(M+N-100)D(X)=，……………………………………………………………11分1(M+N)2(M+N-1)5MN(M+N-100)所以D(Xˉ)=．…………………………………………………………13分(M+N)2(M+N-1)依题意有ì100M=30，ïM+Ní5MN(M+N-100)………………………………………………………………14分ï=1ï2，î(M+N)(M+N-1)解得，N=1456,M=624.所以可以估计M=624，N=1456.………………………………………………………17分高三数学（二模答）—4