河南省八市重点高中2024届高三4月第一次模拟考试——数学

河南省八市重点高中2024届高三4月第一次模拟考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝｛x｜0＜x＜3｝，B＝｛x｜x≤2｝，则A∩＝A．（2，3）B．［2，3）C．（0，2］D．（－∞，3）2．若z＝1－i，则｜＋｜＝A．2B．1C．D．3．HYPERLINKhttp://www.henanjk.com/古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，椭圆C的面积为，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为A．＋＝1B．＋＝1C．＝1D．＋＝14．已知a，b均为平面单位向量，若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则〈a，b〉＝A．30°B．60°C．120°D．150°5．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为A．B．C．D．6．函数f（x）＝＋｜lnx＋1｜的最小值为A．B．C．＋ln2D．＋27．记数列｛｝的前n项和为，已知＝2，｛｝为等差数列，若＋＋＝1，则＝A．2B．－2C．D．8．在正方体ABCD－中，＝4，P为的中点，E在棱上，且＝，则过E且与垂直的平面截正方体ABCD－所得截面的面积为A．6B．8C．12D．16二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．HYPERLINKhttp://www.henanjk.com/为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，成绩前10％的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间［50，60）的人数为24，则A．n＝150B．估计样本中高三年级的人数为75C．估计安全知识竞赛考生的平均分为73D．估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号10．已知函数f（x）＝sin（＋）＋B（＞0，0＜＜），（，1），（，1）为f（x）的两个相邻的对称中心，则A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的最大值为1C．直线x＝是曲线y＝f（x）的一条对称轴D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称11．已知函数f（x）的定义域为R，f（x＋y）－f（x－y）＝f（x＋）f（y＋），f（0）≠0，则A．f（）＝0B．f（0）＝－2C．f（x）的一个周期为3D．＝2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若sin－2cos＝0，则＝_______．13．在正四棱台－ABCD中，∥平面，AB＝＝4，则正四棱台－ABCD的体积为_______．14．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，焦距为2c，A，B为C上的两点，AB∥，四边形的面积为（2a＋c）b，若的周长为10a，则C的离心率为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1，E为PB的中点．（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）求二面角D－EC－B的余弦值．17．（本小题满分15分）记分别为数列｛｝，｛｝的前n项和，＋＝2，＋＝，＝．（1）求数列｛｝，｛｝的通项公式；（2）设＝记｛｝的前n项和为，若对任意n∈，＜m，求整数m的最小值．18．（本小题满分17分）设P为抛物线C：＝4y准线上的一个动点，过P作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）当直线AB斜率不为0时，直线AB交C的准线于M，设Q为线段AB的中点，求△QPM面积的最小值．HYPERLINKhttp://www.henanjk.com/19．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝－rx－1（x＞－1），r＞0且r≠1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）当n∈时，证明：＜n＋．