吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三下学期一模试题 数学 Word版含答案

高三数学一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是A．9 B．8 C．7 D．42．已知向量满足，则a(a-b)的值为A．4 B．3 C．2 D．03．已知，，，则A． B． C． D．4．已知椭圆G：，A,B为G的短轴端点，P为G上异于A,B的一点，则直线AP,BP的斜率之积为A． B． C． D．5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力的视标边长约为10cm，则视力的视标边长约为A． B．C． D．6.辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（）A.14.4 B.9.6 C.24 D.487.已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.已知函数满足，则（ ）A.10000 B.10082 C.10100 D.10302二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知、都是复数，下列正确的是（）A.若，则B.C.若，则D.10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位11.已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.当点为直线与轴的交点时，直线经过点B.当为等边三角形时，点的坐标为C.的取值范围是D.的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.13.在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）14.已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.16.如图，三棱锥中，平面平面，且，．（1）证明：平面；（2）若，点满足，求二面角的大小．17.如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知抛物线焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的左侧）.（1）若点是线段的中点，求点的坐标；（2）若直线与交于点，记内切的半径为，求的取值范围.19.黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时；①证明有唯一极值点；②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．1-8DCBCAADC9BD10ACD11ABC12013-31415（1）2证明：由题意知，故，由于，则，故，即.16过作于点，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）17证明：如图，设的中点为，连接.∵为的中点，∴且.又为的中点，且四边形是平行四边形，∴且∴四边形为平行四边形.∴.又∵平面平面，∴平面.（2）.18（1）或（2）191由可得，令，则；又，，所以，即恒成立；即函数在上单调递减，又，所以，可得恒成立，因此函数在上单调递减，即当时，函数在上单调递减；2当时，①由（1）可知令，可得,易知当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，即函数在处取得极大值，也是最大值；注意到，由单调性可得，可知在大于零，不妨取，则；由零点存在定理可知存在唯一变号零点，所以存在唯一变号零点满足，由单调性可得，当时，，当时，；即可得函数在上单调递增，在单调递减；所以有唯一极大值点；②记的唯一极值点为，即可得由可得，即可得的反函数，令,，则，构造函数，则，显然在恒成立，所以在上单调递增，因此，即在上恒成立，而，即，所以在上恒成立，即可得在上恒成立，因此在单调递增；易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增；