2024届四川省雅安市、遂宁市、眉山市高三第二次诊断性考试理数答案及评分细则

理科数学参考答案及评分细则一!选择题本题共!#小题#每小题$分#共%分$!&'!#&(!)&(!*&+!$&(!&(!,&-!.&'!/&+!!%&'!!!&'!!#&+二!填空题本题共*小题#每小题$分#共#%分$!)#槡)!)!#!$,$/%!!!*!0!12!#!!!$!2!!!!!#/$$%3!!%%3!%%2$%3)%%#!,!&解析'!!$#0)4.!/##4,%$…………………………)分!$%3*%%3*%%3!$%因此$有/%5的把握认为该校学生选择课外活动类别与性别有关系!……………………*分!#依题意$!的可能值为%$!$#$)$*$则##%#%!*则%!0%0-#33-#30(………………………………………………$分!!)!#)###!#!%!%#!!!#%!0!0-#333-#36-#33-#30(……………………分!))!#!)!#)#####!#!!!#!%!%##!%!0#0-#333-#36-#33-#36-#33-#30!))!#!)!#!)!#!)(……………………………………………………………………………………………,分)####!!!!#!#!%!0)0-#33-#36-#333-#30(…………………….分!!)!#))!#)###!#!!%!0*0-#33-#30!…………………………………………………/分!!)!#)所以!的分布列为!%!#)**!!#!!)!!%或填或填或填)/)))))!!!!!!………………………………………………………………………………!%分*!#!)!$所以$&!0%36!36#36)36*30!……………………………!#分!))))))槡!.!&解析'!!证明)因为在$%'(中$%'%(0/%7$%'0)$%(0$槡#数学!理科试题答案第!!页!共页{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}书)#所以'(0槡!………………………………………………………………………………!分#又因为%%)'0/%7$所以'%*%(0'(*%)!则%)0!$')0槡#!…………………………………………………………………………#分在$'*)中$由余弦定理可得*)0槡'*#6')#2#'**')*89:%('*0#$所以')#6*)#0'*#!于是*)&')$*)&'(!…………………………………………………………………)分又%)&'($所以'(&平面%*)!………………………………………………………*分又因为'('平面'*($所以平面%*)&平面'*(!………………………………………………………………$分!#因为二面角%2'(2*为锐二面角$平面%*)&平面'*($平面%*)(平面'*(0*)$过点%作%+&平面'*(于+点$则+点必在线段*)上!…………………………分连接'+$可知%%'+为%'与平面'*(所成的角!……………………………………,分槡))在;<$%'+中$:=>%%'+0$%'0)$得%+0!$槡$)*在;<$%)+中$%)0!$%+0$得)+0!………………………………………….分$$以)为坐标原点$建立如图所示空间直角坐标系)2#,$*)则'!槡#$%$%$*!%$#$%$%%$$$)!%$%$%!!$$!…………………………………………………………/分*槡##2#0%$设平面*'%的法向量为!0!#$$,$则))2,0%!+$$令#0槡#$则得!0!槡#$!$#!……………………………………………………………!%分同理$平面)'%即平面('%的一个法向量为0!%$)$2*!………………………………………………………………………………!!分设二面角*2'%2(的平面角为$,!*,槡,槡*#所以,89:,00$即:=>0!,!,,,,,*#故二面角*2'%2(的正弦值为槡!…………………………………………………!#分,数学!理科试题答案第!#页!共页{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#})-!/!&解析'!!由*6(0槡$根据正弦定理可得.89:*:=>*:=>():=>'60槡$……………………………………………………………………#分89:*89:(:=>(89:*:=>*:=>(:=>*89:(689:*:=>(:=>!*6(:=>'因为6000$89:*89:(89:*89:(89:*89:(89:*89:(:=>'):=>'所以0槡$…………………………………………………………………*分89:*89:(:=>(89:*因为%-'-!$89:*位于分母$所以:=>'.%$89:*.%$所以(0槡)$由%-(-!$!所以(0!…………………………………………………分)!槡)!#由/$'*(0-0:=>(0-00!.)$#*槡所以-00,#$…………………………………………………………………………………,分!!又/$'*(0/$'(16/$*(100*(1*:=>%'(16-*(1*:=>%*(1$##!因为(1为角平分线$所以%'(10%*(10$又(10*)$槡!!!!所以有03*)36-3*)30!.)$#槡##槡#槡所以-600!.$………………………………………………………………………………!%分由余弦定理得.#0-#60#2#-089:(0-#60#2-00!-60#2)-00!.#2)3,#0!%.$所以.0槡)!………………………………………………………………………………!#分3#%!&解析'!!由题意得2$%!!#0/0/3由)2*420%$得)$3!………………………………………………………………!分!#!3从而$42)的面积/$42)0**30!$则30#4……………………………………)分##所以$抛物线(的方程为#0*#!…………………………………………………………*分5#0/5#0/!#设)$5!5#%$则)20!!2$25$420!!$%!!**数学!理科试题答案第!)页!共页{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}0/0/5#由)2*4202)$得!202)$即50*!*所以$此时)!*$*!…………………………………………………………………………分由题意可知$6斜率必不等于%$于是可设6)#0768!*#0768$由)!可得#2*72*80%4…………………………………………………,分+#0*#上述方程的判别式满足#0!2*7#2**!2*8#%$即7##28!##!#设'$!$*$#!!*!*根据韦达定理有)!6#0*7$!#02*8!……………………………………………….分因为9)'*9)*02#$!2*#2***所以#*#02#$*02#$!#!6*#6*2*2***于是!#6*!!6#6#*0%!所以$2*86!76#*0%$即80*764…………………………………………………!%分故直线6的方程为#076*76$即#207!6*$所以直线6恒过定点+!$2*!…………………………………………………………!!分过点)作7&6$且6(70)!$则,))!,1,)+,0#槡!,!其中$当)+&6时等号成立!所以$点)到直线6的距离的最大值为#槡!,!…………………………………………!#分#!!&解析'!!由:!#01#2-#2#$得:;!#01#2-$当-1%时$:;!##%$则:!#单调递增$:!#不存在极值!………………………………!分当-#%时$令:;!#0%$则#0@>-$若#-@>-$则:;!#-%$:!#单调递减(若##@>-$则:;!##%$:!#单调递增!所以#0@>-是:!#的极小值点!…………………………………………………………)分因为:!#在区间!%$!存在极值$则%-@>--!$即!---1!所以$:!#在区间!%$!存在极值时$-的取值范围是!!$1!……………………………*分!#由:!###2:=>#289:#在#2!%$6A时恒成立$即1#689:#6:=>#2!-6!#2##%在#2!%$6A时恒成立!………………………$分设#2!-6!#2#$则#689:#2!-6!$数学!理科试题答案第!*页!共页{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}令7!#0<;!#01#2:=>#689:#2!-6!$则7;!#01#289:#2:=>#!令8!#07;!#01#289:#2:=>#$则8;!#01#6:=>#289:#$则#2!%$!时$1#6:=>##!$则8;!#01#6:=>#289:##%(#2+!$6A时$1#31$则8;!##%$所以#2!%$6A时$8;!##%$则8!#即7;!#单调递增$所以7;!##7;!%0%$则7!#即<;!#单调递增$所以<;!##<;!%0!2-!…………………………………………………………………,分当-1!时$<;!%0!2-3%$故#2!%$6A$<;!##%$则#289:#在#2!%$6A时恒成立!…………………………………/分#当-#!时$<;!%0!2--%$<;+@>!-6),0-6)2:=>+@>!-6),689:+@>!-6),2!-6!!0#2#:=>@>!-6)2#%$槡+*,故在区间!%$@>!-6)上函数<;!#存在零点#%$即<;!#%0%$………………………!%分由于函数<;!#在!%$6A上单调递增$则#2!%$#%时$<;!#-<;!#%0%$故函数#$$+0#:=>$则曲线(的普通方程为!#2!#6#0*4…………………………………………………#分!)槡#因为直线6的方程为:=>20$即:=>289:0)!%!*#%%*#0%89:$由)可得#26)0%!+0%:=>所以直线6的直角坐标方程为#26)0%4………………………………………………*分!#由!!可知$点'的坐标为!2)$%!0/0/因为')0)*$所以)是线段'*的中点!………………………………………………$分由题意$可设)!#$$*!!6#89:$$#:=>$$数学!理科试题答案第!$页!共页{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}*##0!!6#89:$6!2)$则)+#0#:=>$6%$*#089:$2!$即)………………………………………………………………………………,分+0:=>$!代入曲线(的方程$可得!89:$2!2!#6:=>#$0*$即89:#$2*89:$6*6:=>#$0*!)解之可得$89:$2!02!…………………………………………………………………/分*槡!$此时$:=>$0B!*)!$由此可知$两曲线有两个公共点$其直角坐标为2$B槡!………………………!%分!**!/#)!&解析'!!不存在-$0$.$使得62!%$$!理由如下)-06.因为-$0$.都是正数$且-606.0)$所以06.0)2-#%$!/!/!!/所以6060+-6!)2-,6-06.-)2-)!-)2-!)2-/-!)2-/-!0!%663!%6#*0$)!-)2-)!槡-)2-))2-/-)/当且仅当0$即-0$06.0时取等号