南通市2024届高三第二次调研测试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上指定位置上,在其他位置作答一律无效。3.本卷满分为150分,考试时间为120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知单位向量,的夹角为120°,则A.-2B.0C.1D.22.在正方体中,下列关系正确的是A.B.C.D.3.一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为A.25B.30C.35D.404.已知函数则A.B.C.D.5.设,,,则的最小值为A.B.C.D.36.若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围为A.B.C.D.7.设抛物线的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且,则直线MN的斜率为A.B.C.D.8.若cosα,,成等比数列,则sin2α=A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知双曲线的右焦点为F,直线是C的一条渐近线,P是l上一点,则A.C的虚轴长为B.C的离心率为C.|PF|的最小值为2D.直线PF的斜率不等于10.已知,.若随机事件A,B相互独立,则A.B.C.D.11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)的图象关于点(2,0)对称,,,则A.f(x)为偶函数B.g(x)为偶函数C.D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设,i为虚数单位.若集合,,且,则m=________.13.在△ABC中,,,M为BC的中点,,则AM=________.14.若正四棱锥的棱长均为2,则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________,该十面体的外接球的表面积为________.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)甲公司推出一种新产品,为了解某地区消费者对新产品的满意度,从中随机调查了1000名消费者,得到下表:满意不满意男44060女46040(1)能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关;(2)若用频率估计概率,从该地区消费者中随机选取3人,用X表示不满意的人数,求X的分布列与数学期望.附:,.0.10.050.01k2.7063.8416.63516.(15分)设函数.已知f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为,且.(1)若f(x)在区间(0,m)上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;(2)设l为曲线在处的切线,证明:l与曲线有唯一的公共点.17.(15分)如图,边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,,直线AB与平面EFG相交于点H.(1)从下面两个结论中选一个证明:①;②直线HE,GF,AC相交于一点;注:若两个问题均作答,则按第一个计分.(2)求直线BD与平面EFG的距离.18.(17分)已知数列的前n项和为,,.(1)证明:数列为等比数列;(2)设,求数列的前n项和;(3)是否存在正整数p,q(),使得,,成等差数列?若存在,求p,q;若不存在,说明理由.19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:的离心率为,直线l与Γ相切,与圆O:相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,.(1)求Γ的方程;(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为d(M,N).(ⅰ)若M,N分别为线段AB与圆O,P为圆O上一点,当△PAB的面积最大时,求d(M,N);(ⅱ)若d(M,N),d(N,M)均存在,记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)均存在,证明:.
江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题
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