湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试卷

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学命题人：匡铀龄审题人：卿科陈朝阳注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则集合（）A.B.C.D.2.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题：的否定是：C.D.函数在上是减函数3.若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.线段4.已知是所在平面内一点，，则（）A.B.C.D.5.我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，记数列的前项和为，则的值为（）A.32B.33C.34D.356.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）A.B.C.D.7.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为.若.则的最小值是（）A.B.C.D.8.求值：（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A.日认购量与日期正相关B.日成交量的中位数是26C.日成交量超过日平均成交量的有2天D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（）A.B.若，则点处的切线方程为C.存在点，使得D.面积的最小值为410.已知函数，则下列说法正确的有.有唯一零点B.无最大值C.在区间上单调递增D.为的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种13.已知圆与圆相交于两点，则__________.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.（1）若，则__________.（2）若，则的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代的标志ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透入类社会的方方面面.让人类更高效地生活.现对130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT对服务业芳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示：ChatGPT应用的广泛性服务业就业人数的合计减少增加广泛应用601070没广泛应用402060合计10030130（1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.63516.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面.（1）求证：平面平面；（2）若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分15分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且.（1）求圆的方程；（2）过点任作一作直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；（2）若函数有两个极值点，其中，①求实数的取值范围；②若不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CAADBBCABDABDBCD1.C【解析】，故选C.2.A【解析】对于中，由函数为单调递增函数，因为，可得，又因为函数为单调递增函数，可得，即充分性成立；反之：由，可得，当小于0时，此时没意义，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于，命题：的否定是：，故B不正确；对于，故C不正确；对于D：当时，当时，但，可得，所以函数在上不是减函数，故D不正确；故选A.3.A【解析】设，复数对应点，由题意复数满足，即，可知复数满足椭圆的定义.故选.4.D【解析】由，得，得，得（，故选D.5.B【解析】因为，所以，所以数列的前若干项为：，则，所以.故选B.6.B【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为，若当时，则圆台的母线长，所以其侧面积为，若当时，则圆台的母线长，所以其侧面积为，所以其侧面积满足.故选B.7.C【解析】设共同的焦点为，设，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，在中，，可得，即为，即有，即，由，可得，当且仅当时，取得最小值，故选C.8.A【解析】.故选A.9.BD【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A错；将成交量数据按大小顺序排列，中.位数为26，所以对；日平均成交量为，超过42.7的只有一天，所以错；10月7日认购量的增量为，成交量的增量为，所以D对，故选BD.10.ABD【解析】对于，由题意，设直线，联立消去整理得：，又，则，所以正确；对于，由抛物线.可得，则，则过点的切线斜率为，易知，即，则切线方程为：，即，若时，则过点的切线方程为：，所以正确；对于，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，即，所以错误；对于，由选项可知，过点的切线方程为，联立直线的方程可得，所以，，，则，当时，有最小值为正确.故选ABD.11.BCD【解析】由题可知，即和是函数的零点，不正确；当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，而在上递增，值域为，因此当时，，所以无最大值，正确；，令，求导得，当时，令，则，即在上递增，，则在上递增，，因此在上递增，即在上单调递增，C正确；当时，，求导得，显然函数在上递增，而，则存在，使得，当时，，函数在上单调递增，当时，，即当时，，则，又，因此为的一个极小值点，D正确，故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.240【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案.13.2【解析】由题意可知两圆公共弦所在的直线方程为，所以点到直线的距离为，又，所以向量在向量方向上的投影为，所以，同理可得，所以.14.；【解析】设外接圆半径为，则，由正弦定理，可知，即，由于是锐角，故，又由题意可知为三角形的垂心，即，故，所以.连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，设，则，由于，不妨假设，由余弦定理知，，如图所示，为的三条高，由于，故，则得，所以，同理可得，所以.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为：ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，有人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，有人认为ChatGPT不会在服务业中广泛应用，则的可能取值为，又，所以的分布列为123所以.16.【解析】（1）设的中点为，因为，所以，因为，所以，所以三点共线，所以，因为平面平面，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面.所以平面平面.（2）解：以所在的直线为轴和轴，过点作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，设，所以，所以，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即当或时，直线与平面所成角的正弦值为.17.【解析】（1）设圆的半径为，依题意知，圆心的坐标为，因为，所以，所以，圆的方程为.（2）把代入方程，解得或，即点.①当轴时，可知；②当与轴不垂直时，可设直线的方程为.联立方程消去得.恒成立.设直线交椭圆于两点，则，所以，所以.综合①②知.18.【解析】（1），又是函数的一个极值点，，即.，令，在上单调递增，且，在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点时，实数的值为-1.（2）①，由于有两个极值点，所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，令，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，且当时，，故作出的图象如下：由图象可得：，即.②由（1）知：是的两个根，故，则，不妨设，则，则，故由可得，，，化简得，由于，所以等价于对任意的恒成立，令，故对任意的恒成立，则，设，则，（i）当时，单调遥增，故单调递减，故，不满足，舍去；（ii）当时，单调递减，故单调递增，故，故恒成立，符合题意；（iii）当时，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故时，，此时单调递减，故，因此当时，，不符合题意，舍去.综上，实数的取值范围为.19.【解析】（1），对任意的，取，则是“数列”.（2）数列为等差数列，①若是“数列”，，且，则，对任意的，，由题意存在，使得，即，显然，所以，.所以是8的正约数，即，时，；时；时；时.综上，的可能值为.②若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列公差为，则，，对任意，，取，则，所以数列是“数列”.