浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高三下学期开学考试 数学答案

2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BBDACADCaanaa2n+2=n+1+n+12=28.提示：由题意易得an0，由anan+2=an+1+n得，所以A正确；且an+1ananan+1ana1aaaa=nn−122n−1910n，所以S101+2++2=2−1=1023，故C错误；an−1an−2a1a2+a2由上面知{a}也是递增数列，所以a2+n=aann+2，即nn+1nn+22222222an+2−an+1an+1−an+2nan+1−an，所以B正确；an+2an+1nan+1nan+1n由上得=++n−1n=+2n−1，累加得an+1ananan+1an22an2aa123n−1,n+12++3+5++2n−3(n2)ana12222123n−183n+1用错位相减法可求得++++=−(n2),2232522n−39922n−3an+183n+1所以=2+−2n−33，故D正确．an992二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCDBCABD11.提示：由f(x)g(y)−f(y)g(x)=f(x−y)得f(y)g(x)−f(x)g(y)=f(y−x)，所以f(y−x)=−f(x−y)，故f(x)是奇函数，所以A正确；由g(x)g(y)−f(x)f(y)=g(x−y)得g(y)g(x)−f(y)f(x)=g(y−x)，所以g(y−x)=g(x−y)，故g(x)是偶函数，所以B正确；由题意得f(x−y)−g(x−y)=f(x)g(y)−f(y)g(x)−g(x)g(y)+f(x)f(y)=[f(y)+g(y)][f(x)−g(x)]，令y=1得f(x−1)−g(x−1)=[f(1)+g(1)][f(x)−g(x)]由是奇函数得f(0)=0，且[g(0)]2−[f(0)]2=g(0)，g(0)0，解得g(0)=1当f(1)+g(1)=1时，f(100)−g(100)=[f(0)−g(0)]=−1，所以C错误．由题意得f(x−y)+g(x−y)=f(x)g(y)−f(y)g(x)+g(x)g(y)−f(x)f(y)=[g(y)−f(y)][f(x)+g(x)]，令得f(x−1)+g(x−1)=[g(1)−f(1)][f(x)+g(x)]当f(1)−g(1)=1时，f(100)+g(100)=(−1)100[f(0)+g(0)]=1，所以D正确．高三数学答案第1页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3612．32；13．[−,3]；14．；26614．提示：设O是正四面体ABCD内切球的球心，由体积法可求正四面体的内切球半径为，126正四面体的外接球半径为，则422222222PA+PB+PC+PD=PA+PB+PC+PD2222=(PO+OA)+(PO+OB)+(PO+OC)+(PO+OD)22=4PO+2PO(OA+OB+OC+OD)+4OA6356=4PO2+0+4()2=4PO2+=，即PO=，42312666所以P是正四面体内切球上一点，故PA的最小值为OA−PA=−=．4126四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得，2a1+12d=5(a1+2d)，所以，d=3.....3分故，的通项公式为an=a1+(n−1)d=3n−1．……5分bn+1an3n−1（2）由anbn=an+2bn+1得，==，bnan+23n+5bbbbaaa10所以n=nn−12=n−1n−21=，b1bn−1bn−2b1an+1ana3(3n+2)(3n−1)10所以b=．……8分n(3n+2)(3n−1)101011由b==(−)得.......................10分n(3n+2)(3n−1)33n−13n+21011111110115nS=(−+−++−)=(−−)=．……13分n325583n−13n+2323n+23n+216．【解折】（1）在梯形ABCD中，由AD∥BC，BC⊥CD，BC=2CD=2AD，得AB⊥AC．又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD平面PAC=AC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC……3分又等边PAC，M是棱PA的中点，所以MC⊥PA，高三数学答案第2页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}所以MC⊥平面PAB，故PB⊥MC．……6分（2）方法一：取AC中点O，易知OP⊥AC，所以OP⊥平面ABCD，……8分建立如图空间直角坐标系O−xyz，设BC=4，则C(0,2,0)26A(0,−2,0)，P(0,0,6)，M(0,−,)，D(−2,0,0)，22326由（1）知平面PAB的一个法向量是CM=(0,−,)，……10分22又DC=(2,2,0)，CP=(0,−2,6)设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量，nDC=02x+2y=0则，nCP=0−2y+6z=0令z=1，可得n=(−3,3,1)，……13分第16（2）题解图nCM−67所以cosn,CM===−，|n||CM|4277故，平面PAB与平面所成角的余弦值为．……15分7方法二：延长BA和CD交于E点，连接PE，则平面PAB平面PCD=PE.......8分因为由（1）平面所以过M作MF⊥PE于F点，连接FC，又因为CM⊥PE,PE⊥CM所以PE⊥面MCF,所以PE⊥CF则MFC为平面PAB与平面PCD所成角的平面角..............12分7又因为设则PB=4，MF=1，MC=6所以CF=7,所以cosMFC=7故平面与平面所成角的余弦值为．.........15分17．【解析】（1）由题意知，随机变量X的取值为1，2，3，4，则高三数学答案第3页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}121221428P(X=1)=，P(X=2)==，P(X=3)=()2=，P(X=4)=()3=，......4分33393327327即X的分布列为X12341248P392727124865所以E(X)=1+2+3+4=．……7分39272727216（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为()4=，3811665则小朋友套娃娃成功的概率为1−=．……10分8181记摊主每天利润为Y元，则的期望为6565652600E(Y)=30[E(X)10−18]=30[10−18]=，……15分81278192600故摊主每天利润的期望为元．918．【解析】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB方程为x=my+1，与椭圆方程联立，得−2m−1(m2+2)y2+2my−1=0，y+y=，yy=，……2分12m2+212m2+24−2m2+2x+x=m(y+y)+2=，xx=(my+1)(my+1)=，1212m2+21212m2+2y1y2y1y23+22所以k1k2===−．……6分x1−2x2−2x1x2−2(x1+x2)+22（2）设，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，直线AC，BD方程分别为x=n1y+2，x=n2y+2，n1n2=−1，x2−22n1−22n2联立x=n1y+2与+y=1得y1=2，同理y2=2,2n1+2n2+2x2−22n1−22n2联立x=n1y+2与−y=1得y3=2，同理y4=2,……10分2n1−2n2−211所以四边形ABCD面积为S=|AC||BD|=1+n2|y−y|1+n2|y−y|22113224高三数学答案第4页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}182|n|82|n|64n2+n2+2=n2+n2+212=12……13分212|n4−4||n4−4|22212|4(n1+n2)−25|2222564(t+2)令t=n+n，易知0n2，0n2，且n1n2=−1，则t[2,)，S=，1212225−4t2642128因为S关于t单调递增，所以S==，min25−169128当取最小值时，t=2，n=1,n=−1，经检验满足题意．……17分912119．【解析】（1）当a=1时，f(x)=ex−2x+lnx，f'(x)=ex−2+...........2分xf(1)=e−2，f'(1)=e−1所以所求切线方程为y=(e−1)(x−1)+(e−2)，即y=(e−1)x−1．……5分（2）由f(x)0得，ex−axax−aln(ax)（*）x−a令g(x)=x−alnx，g'(x)=，易知g(x)在(0,a)上单调递减，(a,+)上单调递增x当a(0,e]时，因为x[1,+)，所以exea，axa，ex所以不等式（*）等价于g(ex)g(ax)，也等价于exax，即a，xexex(x−1)exex又()'=0，所以在x[1,+)上单调递增，e，xx2xx故满足题意．……11分x当a(e,+)时，由在[1,+)上单调递增知，e=ax在[1,+)上有唯一实数解，设为x0，x0且x0(1,+)，e=ax0，ln(ax0)=x0．x0所以f(x0)=e−2ax0+alnax0=0，所以要使f(x)0在上恒成立，则f'(x0)=0，2x0aaa(x0−1)另一方面，f'(x0)=e−2a+=ax0−2a+=0，矛盾。x0x0x0故不满足题意，综合得，a的取值范围为0ae．……17分（2）解法二：先证明f(1)0对任意a0恒成立，高三数学答案第5页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}设g(a)=f(1)=e−2a+alna（a0），g'(a)=lna−1，当a(0,e)时，g'(a)0，g(a)在(0,e)上单调递减，a(e,+)时，g'(a)0，在(e,+)上单调递增，所以g(a)g(e)=0，即f(1)0对任意恒成立．aaa又f'(x)=ex−2a+，设h(x)=ex−2a+，则h'(x)=ex−，xxx2易知h'(x)单调递增，所以h'(x)h'(1)．当a(0,e]时，h'(1)=e−a0，h'(x)0，所以h(x)单调递增，f'(x)=h(x)h(1)=e−a0，f(x)单调递增，所以f(x)f(1)0，符合题意．……11分当a(e,+)时，同解法一．……17分高三数学答案第6页共5页{#{QQABSYCAggCAAAIAAAhCQwlqCkOQkACACIoOAAAEsAAByANABAA=}#}