焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡.上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.3.若圆与轴相切,则()A.1 B. C.2 D.44.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知所在平面内一点满足,则的面积是的面积的()A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍6.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码,若两个2之间只有一个数字,且1与4相邻,则可以设置的密码种数为()A.48 B.32 C.24 D.167.已知函数有两个极值点p,q,若,则()A. B. C. D.8.已知双曲线的右焦点为,过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于B,D两点,若,则的渐近线方程为()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数,则()A.为的一个周期 B.的图象关于直线对称C.为偶函数 D.在上单调递增10.已知正三棱台中,的面积为,的面积为,,棱的中点为,则()A.该三棱台的侧面积为30 B.该三棱台的高为C.平面 D.二面角的余弦值为11.甲是某公司的技术研发人员,他所在的小组负责某个项目,该项目由A,B,C三个工序组成,甲只负责其中一个工序,且甲负责工序A,B,C的概率分别为0.5,0.3,0.2,当他负责工序A,B,C时,该项目达标的概率分别为0.6,0.8,0.7,则下列结论正确的是()A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C,则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标,则甲负责工序A的概率为D.若该项目未达标,则甲负责工序A的概率为12.已知抛物线的准线,直线与抛物线交于M,N两点,为线段的中点,则下列结论正确的是()A.若,则以为直径的圆与相交B.若,则为坐标原点)C.过点M,N分别作抛物线的切线,,若,交于点,则D.若,则点到直线的距离大于等于三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知圆锥的底面半径为1,体积为,则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________.14.已知数列中,,且,则的前12项和为_________.15.已知正实数m,n满足,则的最大值为_________.16.若函数在上没有零点,则实数的取值范围为_________.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(I)证明:;(II)若,求的值.18.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,.(I)求证:平面平面;(II)若,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知数列中,,.(I)求的通项公式;(II)若,求数列的前n项和.20.(12分)为了验证某种新能源汽车电池的安全性,小王在实验室中进行了次试验,假设小王每次试验成功的概率为,且每次试验相互独立.(I)若小王某天进行了4次试验,且,求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望;(II)若恰好成功2次后停止试验,,以表示停止试验时试验的总次数,求.(结果用含有的式子表示)21.(12分)(I)求函数的极值;(II)若,证明:当时,.22.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过的上顶点与右顶点且与圆相切.(I)求的方程.(II)过上一点作圆的两条切线,(均不与坐标轴垂直),,与的另一个交点分别为,.证明:(i)直线,的斜率之积为定值;(ii).焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算.解析依题意,,,所以.2.答案B命题意图本题考查复数的基本运算.解析,虚部为.3.答案D命题意图本题考查圆的方程与性质.解析因为圆与轴相切,所以且,解得.4.答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定.解析,显然,则,解得或.5.答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算.解析设的中点为,因为,所以,所以点是线段的五等分点,所以的面积是的面积的5倍.6.答案C命题意图本题考查排列组合.解析1与4相邻,共有种排法,两个2之间插入1个数,共有种排法,再把组合好的数全排列,共有种排法,则总共有种密码.7.答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算.解析依题意,,则即显然,,故,则,代入中,解得,则.8.答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质.解析易知的渐近线方程为,不妨设直线,联立方程得得,,则.而,故,代入中,得,则,故所求的渐近线方程为.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.每小题全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质.解析依题意,的最小正周期,则为的一个周期,故A正确;,故B正确;,不是偶函数,故C错误;在上单调递减,故D错误.10.答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征.解析对于A,根据条件可得,,所以等腰梯形的高为,面积为,所以该三棱台的侧面积为,故A错误;对于B,设的中心为,的中心为,可知是直角梯形,,,,故B正确;对于C,分别延长棱,,交于点,易知为等边三角形,四面体为正四面体,恰好为的中心,所以平面,故C正确;对于,二面角即正四面体相邻侧面的夹角,由正四面体的性质可知其余弦值为,故D正确.11.答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式.解析记甲负责工序A为事件,甲负责工序B为事件,甲负责工序C为事件,该项目达标为事件.对于A,该项目达标的概率为,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D正确.12.答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题.解析由题可得抛物线,设,.对于A,直线过的焦点,则以为直径的圆与相切,故A错误;对于B,直线,将代入,得,则,故,故B正确;对于C,抛物线在点处的切线方程为,抛物线在点处的切线方程为,联立两式,解得,故,故C正确;对于D,由抛物线的对称性进行临界分析,可知当轴时,点到直线的距离最小,此时,点到直线的距离为,故正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案命题意图本题考查空间几何体的结构特征.解析设圆锥(如图所示)的高为.因为,所以,母线.将圆锥沿展开所得扇形的弧长为,则扇形的圆心角为.14.答案命题意图本题考查数列的周期性、分组求和.解析依题意,故,所以,,,…,故的前12项和为.15.答案2命题意图本题考查基本不等式及其应用.解析依题意得,则,当且仅当时等号成立,则,解得,则的最大值为2.16.答案命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析令,显然,则,令,,则,令,得,,易知函数在和上单调递增,在和上单调递减,且极大值为,极小值为.由图象可知,当时,直线与曲线没有交点,即在上没有零点.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换.解析(I)由正弦定理及条件可得,由余弦定理可得,化简得.(II)由得,化简得,又,故,所以,故.18.命题意图本题考查空间面面的位置关系,向量法求空间角.解析(I)因为,所以,同理可得,故,因为,所以平面,因为平面,故平面平面.(II)以C为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,所以,,.设为平面的法向量,则即令,得.设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.19.命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和.解析(I)由,可得,故数列是以1为首项,为公差的等差数列,故,则.(II)由(I)可知,故.20.命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率.解析(I)依题意,,则,,,,故的分布列为:X01234P故.(II)方法一:设“停止试验时试验总次数不大于”,则,“次试验中,成功了0次或1次”,“次试验中,成功了0次”的概率;“次试验中,成功了1次”的概率.所以.方法二:事件“”表示前次试验只成功了1次,且第次试验成功,故,所以,利用错位相减法可得该式的结果为.21.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析(I)依题意,,令,解得,所以当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,而,故的极小值为0,无极大值.(II)由(I)可知,当时,,则.令,则,易知在上单调递增.因为,所以,,故,使得,即①.当时,,单调递减,当时,,单调递增,故②.由①可得,代入②,得,而,故,故,即原命题得证.22.命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题.解析(I)设椭圆的半焦距为.依题意,离心率,则,①.直线,即,由题可知②.联立①②,解得,,故的方程为.(II)(i)设过点且与圆相切的直线的方程为,则,整理得,记直线,的斜率分别为,,则,为定值.(ii)由(i)的过程可知直线,联立方程得则有,故.直线,同理可得.故,则.
河南省焦作市2023-2024学年高三上学期期末第一次模拟考试数学试题
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